Билет №1.14. Полярная система координат. Полюс, полярная ось. Полярный радиус, полярный угол. Главные значения полярного угла. Связь между полярными и прямоугольными координатами на плоскости.

Выделим на плоскости какую-либо точку , которую назовем полюсом, и луч , который назовем полярной осью. Выберем масштаб для измерения длины. Наконец, условимся, какие повороты вокруг точки считать положительными. Обычно положительными считают повороты против часовой стрелки. Величины углов будем выражать в радианной мере.

Пусть теперь – произвольная точка плоскости. Обозначим буквой ρ расстояние точки от полюса и буквой – величину угла, на который надо повернуть луч вокруг точки в данной плоскости, чтобы совместить его с лучом . Величины и называются полярными координатами точки , – полярным радиусом, а – полярным углом. Каждой точке плоскости соответствует вполне определенное значение . Значение ϕ для точек, отличных от полюса, определено с точностью до слагаемого , где – любое целое число; в полюсе значение ϕ не определено. Для того чтобы каждая точка плоскости, отличная от полюса O, получила вполне определенные значения полярных координат, достаточно считать, что . Эти значения назовем главными. Теперь будем говорить, что на плоскости введена полярная система координат.

Рассмотрим одновременно прямоугольную и полярную системы координат, причем полюс полярной системы совместим с началом координат прямоугольной системы, а полярную ось направим в положительном направлении оси . Наконец, положительным будем считать то направление полярного угла, в котором надо вращать положительную полуось , чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной полуосью .

Пусть – произвольная точка плоскости, – ее прямоугольные, а , – полярные координаты. Получим: , . Формулы выражают прямоугольные координаты точки M через ее полярные координаты. Для выражения полярных координат точки M, отличной от начала координат, через ее прямоугольные координаты можно воспользоваться формулами:

, .

Билет №1.15. Аффинный репер (аффинная система координат) в пространстве. Начало координат, базисные векторы. Координаты вектора в аффинной системе координат. Радиус-вектор точки. Аффинные координаты точки в репере. Координатные оси плоскости, октанты. Правые, левые тройки векторов; правые, левые системы координат. Прямоугольная система координат в пространстве.

Четверка (O, , , ) называется аффинным репером, или аффинной системой координат в пространстве, причем точка O называется началом координат, а векторы , , –базисными векторами.

Координатами вектора называются коэффициенты в разложении .

Аффинными координатами точки в системе координат называются координаты ее радиус-вектора , причем называется абсциссой, – ординатой и – аппликатой. Аффинную систему координат обозначают также .

Отложим векторы , , от точки , т. е. построим такие направленные отрезки , , ,что , ,

Построенные отрезки задают три координатные оси , , . Три плоскости, определяемые попарно координатными осями, называются координатными плоскостями. Эти плоскости делят пространство на восемь частей, которые называются координатными октантами.

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов (e1, e2, e3). Отложим векторы , , от точки O, т. е. построим такие направленные отрезки , , ,что , , . Будем вращать отрезок в плоскости вокруг точки O по кратчайшему пути до совмещения его направления с направлением отрезка и будем наблюдать за этим вращением с конца отрезка . Если это вращение совершается против часовой стрелки, то упорядоченную тройку векторов называют правой, в противном случае – левой.

Аффинная система координат (O, , , ) называется правой или левой в зависимости от того, какую тройку образуют базисные векторы ( , , ) – правую или левую.

Простейшей из аффинных систем координат в пространстве является (декартова) прямоугольная система координат. Пусть выбрана единица масштаба для измерения длины. Тогда прямоугольная система координат определяется выбором некоторой точки O и трех взаимно перпендикулярных векторов , каждый из которых имеет длину 1.