Билет №1. 11. Теорема о линейной зависимости любых четырех векторов (с доказательством).

Теорема: Любые четыре вектора линейно зависимы. Доказательство: Пусть среди векторов , , , есть тройка линейно независимых векторов, например , , . Тогда по теореме о разложении по 3-м векторам имеет место разложение .Следовательно, векторы линейно зависимы. Теперь рассмотрим случай, когда векторы линейно зависимы, т. е. имеет место равенство . (1) причем среди есть числа, отличные от нуля. Переписывая равенство (1) в виде , получаем, что векторы линейно зависимы.

Билет №1.12. Координата вектора на прямой, снабженной ортом. Начало координат. Координатная ось. Радиус-вектор точки. Координата точки на координатной оси. Формула вычисления величины и длинны направленного отрезка на координатной оси.

Возьмем на прямой какой-либо ненулевой вектор , который будем называть единичным вектором, или ортом.

Пусть теперь – произвольный вектор на прямой . Существует единственное число , такое, что . Число называется координатой вектора на прямой , снабженной ортом .

Выберем на прямой , снабженной ортом , какую-либо точку , которую назовем началом координат. Прямую будем называть теперь координатной осью. Вектор , где – любая точка прямой , называется радиус-вектором этой точки. Координатой точки M на координатной оси называется координата ее радиус-вектора . Обозначим символом ρ ( , ) расстояние между точками и , т. е. длину отрезка .

Теорема: Для любых точек и координатной оси имеютместо равенства: ( ) = , ρ(

Без доказательства.

Билет №1.13. Аффинный репер (аффинная система координат) на плоскости. Начало координат. Базисные векторы. Координаты вектора в аффинной системе координат. Радиус-вектор точки. Аффинные координаты точки в репере. Теорема о координатах линейной комбинации векторов. Выражение координат вектора через координаты начала и конца представляющего его направление отрезка. Критерий коллинеарности двух векторов плоскости, заданных координатами. Координаты середины отрезка. Прямоугольные координаты на плоскости.

Пусть O – некоторая точка и , – два линейно независимых (неколлинеарных) вектора плоскости Π. Тройка (O, , ) называется аффинным репером, или аффинной системой координат на плоскости Π.

Отложим векторы , от точки O, т. е. построим такие направленные отрезки , , что , . Эти отрезки определяют две координатные оси и . Точка называется началом координат, а векторы , – базисными векторами.

– произвольный вектор плоскости Π. Вектор можно единственным образом представить в виде (1).

Коэффициенты в разложении (1) называются координатами вектора в системе координат

являются величинами проекций вектора на координатные оси , параллельно осям и соответственно. Чтобы отметить, что и уесть координаты вектора , пишут .

Пусть теперь – произвольная точка плоскости Π, на которой выбрана аффинная система координат Вектор называется радиус-вектором точки M.

Координаты вектора называются аффинными координатами точки M в репере (O, , ), причем называется абсциссой, а – ординатой.

Теорема: Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

Без доказательства.

Если A( , ) и B( , ) – две точки, то , т. е. чтобы получить координаты вектора, определяемого направленным отрезком AB, надо из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки.

Для того чтобы два вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.

Координаты середины A прямолинейного отрезка, соединяющего точки ( , ) и ( , ), задаются формулами

, .

Пусть на плоскости Π выбрана единица масштаба для измерения длины. Рассмотрим некоторую точку и два взаимно перпендикулярных вектора , каждый из которых имеет длину, равную 1. В этом случае аффинная система координат называется (декартовой) прямоугольной системой координат. В прямоугольной системе координат, конечно, справедливы все формулы, имеющие место в произвольной аффинной системе координат. Часто эти формулы в прямоугольной системе координат имеют более простой вид, чем в общем случае аффинной системы координат.