Билет №1.8. Теорема о разложении произвольного вектора плоскости по любым двум неколлинеарным векторам этой плоскости (с доказательством).

Теорема: Если в некоторой плоскости Π заданы два неколлинеарных вектора и , то любой вектор этой плоскости можно разложить по векторам , т. е. представить в виде . (1). Коэффициенты , определяются однозначно.

Доказательство. Отложим векторы и от одной точки O, т. е. построим точки , M, такие, что

Спроектировав точку M на прямую параллельно прямой , получим точку . Пусть, далее, точка является проекцией точки M на прямую параллельно прямой . Так как векторы коллинеарны и – ненулевой вектор, то . Аналогично . Так как = + , то равенство (1) верно.

Д окажем единственность разложения (1). Пусть наряду с представлением (1) имеется еще разложение (2). Вычитая из равенства (1) равенство (2), получаем . (3) Так как векторы - неколлинеарны, то они линейно независимы, и из равенства (3) следует x– x' = 0, y– y' = 0 ⇒x= x', y= y'.

Теорема: Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Доказательство. Пусть векторы , , линейно зависимы. Тогда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные, например .Отложим векторы , , от одной точки O, т. е. построим такие направленные отрезки , и , что , , .

Если векторы и неколлинеарны, то точки O, , определяют плоскость Π. В силу равенства отрезок такжележит в плоскости Π и, следовательно, векторы компланарны.

Если векторы и коллинеарны, т. е. отрезки и лежат на одной прямой, то в силу равенства отрезок также лежит на этой прямой. Следовательно, в этом случае векторы не только компланарны, но даже и коллинеарны.

Обратно, пусть векторы компланарны. Предположим сначала, что два из заданных векторов, например , , неколлинеарны. Тогда по теореме 2.4 вектор можно представить в виде , и, следовательно, векторы линейно зависимы.

Пусть теперь все три вектора (10) коллинеарны, т. е. параллельны одной прямой. Из теоремы 2.3 следует, например, .

Переписывая это равенство в виде , получаем, что векторы (10) линейно зависимы.

Теорема: Если векторы , , линейно независимы, то любой вектор может быть разложен по этим векторам, т. е. может быть представлен в виде . Это разложение единственно.

Д оказательство: Отложим векторы , , и от одной точки O, т. е. построим такие направленные отрезки , , и OM, что

, , , .

Пусть , и – проекции точки на прямые , , параллельно плоскостям , , соответственно. На отрезках , , как на ребрах, построим параллелепипед. Тогда .

Так как векторы и коллинеарны и ≠ 0 , то . Аналогично , . Единственность разложения доказывается так же, как и в теореме о разложении по 2-м векторам.