Билет №3.2. Эксцентриситет, фокальные радиусы, фокальный параметр эллипса. Параметрические уравнения эллипса.

Фокальные радиусы — расстояния   и   от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.

Фокальный параметр — половина длина перпендикуляра, восстановленного в его фокусе до пересечения с эллипсом. Фокальный параметр эллипса равен . Расстояние называется фокальным расстоянием.

Эксцентриситет — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обозначается и равен: . Для эллипса значение эксцентриситета находится на промежутке от 0 до 1. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Теорема “Параметрическое уравнение эллипса”: Пусть   – произвольные действительные числа. Тогда система уравнений:    является параметрическими уравнениями эллипса в прямоугольной системе координат.

Доказательство: Достаточно доказать, что система уравнений  равносильна каноническому уравнению эллипса, т.е. они имеют одно и то же множество решений. Пусть – произвольное решение системы  . Разделим первое уравнение на , второе – на , возводим оба уравнения в квадрат и складываем:   . То есть любое решение   системы удовлетворяет уравнению. Доказано.

Билет №3.3. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы (без вывода). Исследование формы. Асимптоты.

Г ипербола — геометрическое место точек M плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний от   до двух выделенных точек  и (называемых фокусами) равно и меньше расстояния между фокусами, то есть , причем .

Каноническое уравнение гиперболы: , где - координаты точек, принадлежащих множеству точек гиперболы, – расстояние отрезков, отсекаемые гиперболой на оси и .

И сследование формы гиперболы, асимптоты: Из канонического уравнения гиперболы видно, что , это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямыми и . Так как в каноническое уравнение гиперболы входят только четные степени координат, то гипербола симметрична относительно каждой из координатной осей и начала координат. Следовательно, можно построить график функции , а затем достроить гиперболу по симметрии. График этой функции, начиная от точки , уходит неограниченно вправо и вверх. Покажем, что он как угодно близко подходит к прямой . Проведем из произвольной точки графика функции прямую, параллельную оси и пересекающую прямую в точке . Кроме того, опустим из точки перпендикуляр на эту прямую. Тогда: . Так как , то . Итак, когда переменная точка уходит в бесконечность, расстояние от этой точки до прямой стремится к нулю. В соответствии с этим говорят, что гипербола асимптотически приближается к прямой, и эту прямую называют асимптотой гиперболы. У гиперболы их две: и . Центр симметрии гиперболы называется ее центром. Оси симметрии называются осями гиперболы. Точки и называются вершинами гиперболы. Отрезки и (и их длины и ) называются полуосями гиперболы. Если , то гипербола называется равносторонней. Гипербола, уравнение которой имеет вид называется сопряженной гиперболой, ветви этой гиперболы повернуты на угол относительно стандартного вида.