Билет №2.8

Лемма 1. Пусть фигура в некоторой аффинной системе координат задается уравнением . Тогда и в произвольной аффинной системе координат фигура может быть задана линейным уравнением.

Доказательство. Пусть Ox’y’z’ – новая аффинная система координат. Чтобы получить уравнение, задающее фигуру в новых координатах, подставим в левую часть уравнение (1) выражения x, y, z через новые координаты x’, y’, z’ и приведём подобные члены. В результате получим . Среди чисел есть отличные от нуля. Если , то при соотношению (2) не удовлетворяет ни одна из точек пространства, а при это соотношение не накладывает никаких ограничений на координаты точек.

С другой стороны, уравнению один удовлетворяет хотя бы одни из точек пространства, но не каждая точка пространства. Следовательно, среди чисел есть отличные от нуля.

Теорема 1. Если в пространстве выбрана некоторая аффинная система координат Oxyz, то всякая плоскость может быть задана с помощью уравнения и, обратно, всякое уравнение вида (1) есть уравнение плоскости.

Д оказательство. Пусть сначала Oxyz – ДПСК, а П – некоторая плоскость (рис. ). Отметим в этой плоскости какую-либо точку и отложим от неё вектор , перпендикулярный плоскости П. Для того чтобы точка лежала на плоскости П, необходимо и достаточно, чтобы вектор был перпендикулярен векторы . Получаем уравнение плоскости П: . Полагая, что , получаем из уравнения (4) уравнение (1).

Докажем вторую часть теоремы. Пусть дано произвольное линейное уравнение (1). Рассмотрим множество всех точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Пусть – одна из этих точек. Тогда . Вычитая это почленно из уравнения (1), получаем уравнение (4). Известно , что уравнение (4) задает плоскость, проходящую через точку и перпендикулярную вектору . Значит уравнение (1) является уравнением этой плоскости.

Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости. Отметим, что в ДПСК вектор n(A, B, C) перпендикулярен плоскости П.

Вывод уравнения плоскости в отрезках: Пусть в уравнении (1) все коэффициенты отличны от нуля. Тогда, введя обозначения , можно уравнение (1) представить в виде : . Величины отрезков a, b, c, которые плоскость отсекает на осях Ox, Oy, Oz, считая от точки О.