Билет №2.6

Возьмем некоторую прямоугольную систему координат (O, i, j) (рис.). Рассмотрим орт e, перпендикулярный прямой Δ. ЕслипрямаяΔ проходит через начало координат, то в качестве e выберем любой из двух взаимно противоположных ортов, перпендикулярных этой прямой. Если же прямаяΔ не проходит через начало координат, то в качестве e возьмем тот орт, который направлен от начала координат к прямой. Обозначим буквой α угол между векторами i и e. Тогда e (cosα, sinα).

Обозначим буквой N точку пересечения прямой Δ с перпендикуляром , проведенным из начала координат к этой прямой, а буквой p – расстояние от начала координат до прямой Δ, т. е. длину отрезка ON.

Т очка M(x, y) принадлежит прямой Δ тогда и только тогда, когда ортогональная проекция точки M на прямуюΔ совпадает с точкой N.Это условие равносильно следующему: .

Выражая скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов, получаем . (12)

Это уравнение называется нормальным уравнением прямой Δ.

П усть на плоскости заданы две прямые своими уравнениями относительно прямоугольной системы координат Oxy: (14), (15) .

В качестве направляющих векторов этих прямых берем векторы , . Поэтому

. (16)

Здесь буквой ϕ обозначен один из двух углов, образуемых прямыми при их пересечении. Если эти прямые не пересекаются, т. е.параллельны, то угол между ними по определению считается равным нулю.

Из формулы (16) следует необходимое и достаточное условие перпендикулярных прямых (14) и (15): .

Пусть теперь прямые заданы в прямоугольной системе координат уравнениями

, (17)

. (18)

Обозначим буквой ϕ угол, на который надо повернуть прямую вокруг точки пересечения этих прямых, чтобы совместить ее с прямой .