Билет №2.5

Для задания пучка достаточно задать его центр или любые две прямые пучка.

Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат и заданы уравнения двух различных прямых , (5) , (6) пересекающихся в точке . Рассмотрим уравнение

, (7) где α, β – произвольные действительные числа, не равные одновременно нулю. Покажем, что это уравнение определяет прямую, проходящую через точку S. Перепишем его в виде

. (8)

Здесь коэффициенты при неизвестных не могут одновременно равняться нулю. В самом деле, пусть

, (9).

Например, α ≠ 0. Тогда и ≠ 0, так как из = 0 следует = 0, что противоречит условию пересечения прямых(5) и (6). Аналогично , и равенства (9) можно представить в виде , что невозможно, так как прямые (5) и (6) пересекаются. Итак, коэффициенты при неизвестных в уравнении (8) не могут одновременно равняться нулю, и это уравнение при любых α и β, не равных одновременно нулю, задает прямую. Утверждение о том, что прямая (7) проходит через точку пересечения прямых (5) и (6), очевидно, так как = 0, = 0 , .

Покажем теперь, что числа α и β можно подобрать так, чтобы уравнение (7) выражало любую наперед заданную прямую пучка с центром в точке S. Пусть – произвольная точка плоскости, отличная от S. Достаточно показать, что числа α и β можно подобрать так, чтобы прямая(7) проходила через точку . Это условие записывается в виде . (10)

Так как точка отлична от точки S, то, по крайней мере, одно из чисел, заключенных в скобки в равенстве (10), отлично от нуля. Если ≠ 0, то равенство (10) можно переписать в виде .

Придавая β произвольное, отличное от нуля значение, получим соответствующее значение α.

Итак, уравнение (7) при любых α и β, не равных одновременно нулю, выражает прямую пучка, определяемого прямыми (5) и (6), и, обратно, любая прямая этого пучка может быть задана уравнением (7). Уравнение (7) называется уравнением пучка прямых, определяемого прямыми (5) и (6). Отметим, что уравнение прямой (5) получается из уравнения (7) при β = 0 и произвольном α ≠ 0, а уравнение (6) – при α = 0 и любом β ≠ 0.

Разделив обе части уравнения (7) на α и введя обозначение β /α =λ, перепишем полученное уравнение в виде

, (11)

Это уравнение при любом λ выражает некоторую прямую пучка, определяемого прямыми (5) и (6). Обратно, любая прямая этого пучка, отличная от прямой (6), может быть задана уравнением (11) при некоторомλ.

Если заданы координаты центра пучка , то уравнение пучка, очевидно, имеет вид

.