28. Первая теорема Вейерштрасса

  Если функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a, b], то она на этом промежутке ограничена.   Доказательство. Функция f (х) ограничена на промежутке [а, b], если существуют такие конечные числа m и M, что m ≤ f (х) ≤ М при a ≤ x ≤ b. Допустим, что функция f (х) при изменении х в промежутке [а, b] оказывается неограниченной. В таком случае для каждого натурального числа n найдётся в промежутке [а,b] такое значение х = х_n, что f ( x_n) ≥ n. Однако по лемме Больцано – Вейерштрасса из этой ограниченной последовательности {x_n} можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность:

Причем, очевидно, х₀   [a, b]. Вследствие непрерывности функции в точке х₀ должно быть выполнено

Однако, в силу f (x_n) ≥ n имеем

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Вторая теорема Вейерштрасса

  Непрерывная на отрезке [a, b] функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и своей нижней грани (рис. 5.19).    Доказательство. Пусть f (x)   C_[a, b] (функция принадлежит классу непрерывных функций на отрезке [a, b]) и пусть  . Согласно определению верхней грани функции, для каждого n существует такая точка х_n  [а, b], что

,

Из последовательности x_n  [а, b] можно выделить сходящуюся к некоторому значению х₀ подпоследовательность:

.

В силу непрерывности функции имеем далее

.

В то же время

.

И в пределе f (x₀)   M. Но f (x₀) не может быть больше верхней границы М и, следовательно, f (x₀) = М. Что и требовалось доказать.

29.

Теоре́ма Больца́но — Коши́ о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии — это утверждение о том, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Следствия

• (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть   и   Тогда   такое, что 

• В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.

30. Степенная функция определяется соотношением y = xⁿ, n ≠ 0 . При натуральных значениях n эта функция определена на всей числовой прямой, т. е.х   R. При четном показателе степени степенная функция является четной и y принимает положительные значения. Ее графиками служат параболы соответственно второго, четвертого и т.д. порядков, рис. 5.4.    При нечетном показателе функция является нечетной и принимает значения y   (− ∞, + ∞) . Ее графиками служат параболы третьего, пятого и т. д. порядков,рис. 5.5.

31.

П о к а з а т е л ь н а я функция y = a^x, (a ≠ 1, a > 0). Область ее определения x   (- ∞, + ∞), множество значений y   ( 0, + ∞). Если a > 1, то функция монотонно возрастает, а если 0 < a < 1 - монотонно убывает. При этом для любого основания выполняется равенство a⁰ = 1. Следовательно, график любой показательной функции проходит через точку (0; 1), рис. 5.6.    Л о г а р и ф м и ч е с к а я функция. Эта функция является обратной по отношению к показательной. График логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой у = х. При этом для любого основания а > 0 и а ≠ 1 выполняется условие log_a1 = 0, поэтому график всякой логарифмической функции проходит через точку (1; 0), рис. 5.7.

34.

 Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. Функции y = sin х и у = cos х определены на всей числовой прямой и имеют множеством значений промежуток [− 1, 1], рис. 5.8.   Функция у = tg х определена при всех значениях  , монотонно возрастает в каждом интервале области определения.     Функция у = ctg х определена при всех значениях x ≠ π n, n   N, и монотонно убывает в каждом интервале области определения.    Множеством значений тангенса и котангенса служит промежуток (− ∞; + ∞).   Функции у = sin х, у = tg х и у = ctg х − нечетные, их графики симметричны относительно начала координат. Функция у = cos x - четная, ее график симметричен относительно оси Оу.   Тригонометрические функции являются периодическими.    Определение. Функция f (х) называется периодической, если существует такое число Т > 0, что для любых значений аргумента из области определения функции имеет место равенство f (x ± T) = f (x).   Основной период функций у = sin х и у = cos x равен 2·, основной период функций у = tg x и y = ctg x равен .   Обратные тригонометрические функции. Функция y = arcsin x , где х   [− 1; + 1], y   [− / 2, /2 ], означает, что у есть угол из промежутка [− / 2, /2 ], синус которого равен х, то есть х = sin у.     Функция y = arcsin x является обратной для функции y = sin x, x  [− / 2, / 2 ], у   [− 1; + 1], рис. 5.9.   Функция у = arcсos х, x   [− 1, 1], y   [0, ] обратная функции у = сos х, где х   [0, ] и y   [− 1, 1]. Её график симметричен графику у = сos х относительно прямой у = х, рис. 5.10.    Функция у = arctg x, где x   (− ∞; + ∞) и y   (− / 2, / 2 ), является обратной функции y = tg x, y   (− ∞; + ∞) и . Ее график симметричен графику функции y = tgx, x   (− / 2, / 2 ), относительно прямой у = х, рис. 5.11.   Функция у = arcctg x, x   (− ∞; + ∞), y   (0; ) обратная функции у = ctg x, x   (0; ), у   (− ∞; + ∞). Ее график симметричен графику у = ctg x, x   (0; ), относительно прямой у = х, рис. 5.12.

35.