48. Теплопроводность при граничных условиях III рода. Многослойная плоская стенка

Г раничные условия третьего рода (теплопередача). Передача теплоты из одной среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их однородную или многослойную твердую стенку любой формы называется теплопередачей. Теплопередача включает в себя теплоотдачу от более горячей жидкости к стенке, теплопроводность в стенке, теплоотдачу от стенки к более холодной среде. Рассмотрим теплопередачу через однородную и многослойную плоские стенки. Пусть плоская однородная стенка имеет толщину δ (рис. 2.3). Заданы коэффициент теплопроводности стенки λ, температуры окружающей среды t_f1 иt_f2, а также коэффициенты теплоотдачи  ₁ и  ₂; будем считать, что величины t_f1, t_f2 , ₁ и  ₂ постоянны и не меняются вдоль поверхности. Это позволяет рассматривать изменение температуры жидкостей и стенки только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки.

Рис. 2.3. Теплопередача через плоскую стенку.

При заданных условиях необходимо найти тепловой поток от горячей жидкости к холодной и температуры на поверхности стенки. Плотность теплового потока от горячей жидкости к стенке определяется уравнением (2.18)   При стационарном тепловом режиме та же плотность теплового потока, обусловленная теплопроводностью через твердую стенку - (2.19). Тот же тепловой поток передается от второй поверхности стенки к холодной жидкости за счет теплоотдачи - (2.20). Уравнения (2.18) - (2.20) можно собрать в систему (2.21). Если сложить равенства (2.21) почленно, то получим выражение из которого находим плотность теплового потока, Вт/м² - (2.22). Если ввести обозначение (2.23) (единица измерения - Вт/м²×К), то уравнение (2.22) можно записать в виде (2.24). Величина k имеет ту же размерность, что и  , и называется коэффициентом теплопередачи. Коэффициент теплопередачи kхарактеризует интенсивность передачи теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку и численно равен количеству теплоты, которое передается через единицу поверхности стенки в единицу времени при разности температур между жидкостями в один градус. Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется полным термическим сопротивлением теплопередачи - (2.25). Из (2.25) видно, что полное термическое сопротивление складывается из частных термических сопротивлений 1/ ₁, δ/λ и 1/ ₂, причем 1/ ₁=R₁ — термическое сопротивление теплоотдачи от горячей жидкости к поверхности стенки; δ/λ=R_с — термическое сопротивление теплопроводности стенки;1/ ₂=R₂ — термическое сопротивление теплоотдачи от поверхности стенки к холодной жидкости. Поскольку общее термическое сопротивление состоит из частных термических сопротивлений, то совершенно очевидно, что для многослойной стенки нужно учитывать термическое сопротивление каждого слоя. Если стенка состоит из nслоев, то полное термическое сопротивление теплопередачи через такую стенку будет равно:     Плотность теплового потока через многослойную стенку, состоящую из n слоев, будет равна - (2.27). Уравнение (2.27) для многослойной стенки подобно уравнению (2.24) для однородной плоской стенки. Различие заключается в выражениях для коэффициентов теплопередачи k. При сравнении уравнений (2.26) и (2.23) видно, что соотношение (2.23) является частным случаем уравнения (2.26), когда n=1. Тепловой поток Q, Вт, через поверхность F твердой стенки равен:    Температуры поверхностей однородной стенки можно найти из уравнений (2.21). Из них следует - (а*). Из сопоставления уравнений (2.15) и (2.27) следует, что передача теплоты через многослойную стенку при граничных условиях первого рода является частным случаем общего случая передачи теплоты при граничных условиях третьего рода. На основании сказанного температура на границе любых двух слоев   и  ₊₁ при граничных условиях третьего рода может быть определена по уравнению:    Наряду с уравнением (2.29) для расчета гранитных температур применяются и графические методы. Рассмотрим графический метод определения температур на поверхности слоев неоднородной стенки, в основу которого положено свойство линейной зависимости температурного напора в стенке от ее термического сопротивления - (b*) или для любого слоя - (b**). Такая зависимость дает возможность построить фиктивную стенку, в которой толщины слоев будут пропорциональны соответствующим термическим сопротивлениям, а внешние термические сопротивления теплоотдачи 1/ ₁ и  1/ ₂ учитываются путем введения двух условных граничных слоев соответствующей толщины. Сущность метода поясним на примере трехслойной стенки. Общее термическое сопротивление теплопередачи через такую стоику равно:   Отложим на горизонтали отрезки О₁А₁, А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, и А₄О₂, соответственно равные термическим сопротивлениям 1/ ₁, δ₁/λ₁, δ₂/λ₂, δ₃/λ₃ и 1/ ₂ (рис. 2.4). В точках О₁, А₁, А₂, А₃, А₄, О₂ поставим перпендикуляры и на О₁К₁ и О₂К₂ отложим в некотором масштабе температуры подвижных сред t_f1 и t_f2. Соединим прямой линией точки С₁ и В₂. Отрезки А₁Е₁, А₂Е₂, А₃Е₃ и А₄Е₄ будут равны искомым температурам t_c1, t_c2, t_c3 и t_c4. Из подобия треугольников С₁В₁В₂ и C₁C₂E₁следует выражение (2.30). Из отношения (2.30) следует, что C₁C₂=t_f1–t_c1, следовательно, можно записать (2.30*). Аналогичным образом доказывается, что и отрезки А₂Е₂, А₃Е₃ и А₄Е₄ соответственно равны температурам t_c2, t_c3 и t_c4.

Рис. 2.4. Графический способ определения температур.