Операции над событиями (сумма, разность, произведение)

A+B ( ) – сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий A или B (не исключающее логическое «или»). В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

A+B ( ) – произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий A и В (логическое «и»). В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий. Таким образом, события А и В несовместны, если произведение их есть событие невозможное, т.е. .

А-В (множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В) – разность событий. Это событие, состоящее из исходов, входящих в А , но не входящих В . Оно заключается в том, что происходит событие А, но при этом не происходит событие В.

Понятие полной группы событий

По́лной гру́ппой собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Пример Предположим, проводится подбрасывание монеты. В результате этого эксперимента обязательно произойдет одно из следующих событий:

A: монета упадет орлом;

B: монета упадет решкой;

C: монета упадет на ребро;

D : монета зависнет в воздухе.

E:монету притырит подкидывающий

F:монета превратится в динозавра

G:монета станет летающей тарелкой

Таким образом, система {A,B,C,D} является полной группой событий.

Классическое определение вероятности связано с определением благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события. Вероятность события A равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания:

,

где – число благоприятствующих событию исходов;

– общее число возможных исходов.

Из определения вероятности события следует, что , поэтому всегда выполняются неравенства , т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Если P(A)=0 , то событие A невозможное.

Если Р(А)=1 , то событие 1 достоверное.

Равновозможные элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью

Зависимые и независимые события

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события В , вычисленная в предположении осуществления другого события А , называется условной вероятностьюсобытия В  и обозначается  Р{BIA}.

Условие независимости события B  от события A  записывают в виде P{BIA=P{B}}, а условие его зависимости — в виде