X2, …, Xn. При достаточно большом числе независимых опытов среднее

арифметическое значений случайной величины X сходится по вероятности к ее

математическому ожиданию:

Дискретные двумерные случайные величины

Двухмерная случайная величина (Х, Y) является дискретной, если множества значений ее компонент Ωx и Ωy представляют собой счетные множества. Для описания вероятностных характеристик таких величин используется двухмерная функция распределения и матрица распределения.

Матрица распределения представляет собой прямоугольную таблицу, которая содержит значения компоненты X - Ωx = {x1, x2, ..., xn}, значения

компоненты Y - Ωy = {y1, y2, …, ym} и вероятности всевозможных пар значений

pij = p(X = Xi, Y = Yj ), i = 1, …, n, j = 1, …, m.

Независимые случайные величины

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины X и Y  были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X,Y) была равна произведению функций распределения составляющих:

F(X,Y)=F1(X)F2(Y)

Следствие. Для того, чтобы случайные величины  X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X,Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих:

f(X,Y)=f1(X)f2(Y)

Теорема. Если  X и Y  независимые случайные величины, то справедливы следующие неравенства:

D(X+-Y)=D(X)+-D(Y)

M(XY)=M(X)M(Y)

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Таким образом, по определению , где – число вариант, меньших x, n – объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между этими функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события X<x, тогда как эмпирическая – относительную частоту этого же события.

При росте n относительная частота события X<x, т.е. стремится по вероятности к вероятности F(x) этого события. Иными словами:

.

Свойства эмпирической функции распределения

Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1].

– неубывающая функция.

Если – наименьшая варианта, то =0 при , если – наибольшая варианта, то =1 при .

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Критерий согласия Пирсона о виде распределения

До сих пор мы предполагали, что закон распределения генеральной совокупности известен. Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. Проверка этой гипотезы производится при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия, наиболее часто используемым является критерий согласия К.Пирсона («хи квадрат»). Ограничимся применением критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.