51. Какая функция называется билинейной (или билинейной формой)?

Числовая функция А(х, у) от двух векторных аргументов х и у в линейном пространстве R называется билинейной функцией или билинейной формой, если она является линейной функцией от x при каждом фиксированном значении y и линейной функцией от y при каждом фиксированном значении x. Можно показать, что любая билинейная форма в n-мерном линейном пространстве имеет вид A(x,y)=∑∑(aikxiyk), где aik – фиксированные числа.

52. Какая матрица называется матрицей билинейной формы в линейном пространстве?

Любая билинейная форма в n-мерном линейном пространстве имеет вид A(x,y)=∑∑(a_ikx_iy_k), где a_ik – фиксированные числа. Коэффициенты a_ik образуют матрицу

Которую называют матрицей билинейной формы А(х, у) в базисе е₁, …, e_n.

53. Какое равенство должно выполняться для того, чтобы билинейная форма являлась симметричной?

Билинейная форма A(x,y) называется симметричной, если для любых векторов x и y выполняется равенство A(x,y) = A(y,x).

Если билинейная форма A(x,y) симметрична, то ее матрица в любом базисе пространства R тоже симметрична. Справедливо и обратное утверждение.

54. Что называется квадратичной формой в линейном пространстве?

Квадратичной формой в линейном пространстве R называется функция A(x,x) от одного векторного аргумента x ∈ R, которая получается из билинейной формы A(x,y) заменой y на x.

Другими словами, выражение вида

Φ(x1,x2,..,xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1nx1xn+a22x22+ 2a23x2x3+…+ 2a2nx2xn+

+…++annxn2,

содержащее только квадраты координат x1,…, xn и все их попарные произведения, называют квадратичной формой n координат x1,…, xn , а числа aik– коэффициентами квадратичной формы.

55. Какую последовательность действий необходимо произвести для приведения квадратичной формы к диагональному виду?

По квадратичной форме построить симметричную матрицу А.

2. Составить характеристическое уравнение det(А − λЕ) = 0 и найти его корни (имеется n вещественных корней, которые будем считать различными).

3. Зная корни характеристического уравнения, написать квадратичную форму в диагональном (каноническом) виде.

4. Подставить собственное значение λ1 в систему и, пользуясь правилами решения однородных систем линейных уравнений, найти решение полученной системы (если корни раз-

личны, то оно будет определено с точностью до произвольного множителя) и написать разложение первого собственного вектора по старому базису.

5. Проделать указанные в п. 4 операции с остальными собственными числами.

6. Пронормировать каждый из собственных векторов, разделив на его длину.

7. Написать матрицу поворота координатной системы, используя результаты вычислений п. 6.

8. Написать формулы перехода от старых координат к новым, используя матрицу поворота координатной системы, полученной в п. 7

56. По какой формуле осуществляется переход от старых координат к новым, используя матрицу поворота координатной системы?

Пусть имеем векторы нового базиса: е1’(e11,e12), e2’(e21,e22). Матрица поворота при этом имеет вид:

А формулы преобразования координат можно записать в виде:

57. Как привести квадратичную форму к каноническому виду?

По квадратичной форме построить симметричную матрицу А.

1. Составить характеристическое уравнение det(А − λЕ) = 0 и найти его корни (имеется n вещественных корней, которые будем считать различными).

2. Зная корни характеристического уравнения, написать квадратичную форму в диагональном (каноническом) виде.

3. Подставить собственное значение λ1 в систему и, пользуясь правилами решения однородных систем линейных уравнений, найти решение полученной системы (если корни раз-

4. личны, то оно будет определено с точностью до произвольного множителя) и написать разложение первого собственного вектора по старому базису.

6. Проделать указанные в п. 4 операции с остальными собственными числами.

7. Пронормировать каждый из собственных векторов, разделив на его длину.

8. Написать матрицу поворота координатной системы, используя результаты вычислений п. 6.

9. Написать формулы перехода от старых координат к новым, используя матрицу поворота координатной системы, полученной в п. 7