43. Как вычисляются собственные вектора и собственные числа оператора в конечномерном пространстве?

Составляется характеристическое уравнение:

Находятся . Подставив  в систему:

(a₁₁-)x₁+…+a₁n_xn = 0,

a₂₁x₁+…+a_2nx_n = 0,

…

a_n1x₁+…+(a_nn - )x_n = 0,

найдем координаты собственного вектора оператора. Если все n корней характеристического уравнения вещественны и различны, то можно найти n различных собственных векторов оператора А, подставляя последовательно все n корней в систему.

44. Каким свойством обладает матрица линейного оператора, характеристичес­кое уравнение которого имеет различных вещественных корней?

В n-мерном пространстве матрица всякого линейного оператора характеристическое уравнение которого имеет n различных вещественных корней, в базисе из его собственных векторов диагональна и ее диагональные элементы есть собственные значения оператора.

45. При выполнении какого условия, оператор называется симметричным?

Оператор A, действующий в евклидовом пространстве R, называется симметричным, если для любых векторов x и y пространства R имеет место равенство: (Ax,y) = (x,Ay).

Важно отметить, что в n-мерном евклидовом пространстве матрица A симметричного оператора в любом ортогональном нормированном базисе совпадает со своей транспонированной матрицей, то есть A есть симметричная матрица. Верно и обратное утверждение: каждый оператор Å, имеющий в некотором ортогональном и нормированном базисе симметричную матрицу, является симметричным оператором.

46. Каким свойством обладают собственные векторы симметричного оператора, отвечающие различным собственным значениям?

Теорема. Собственные векторы симметричного оператора A , отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство. Пусть имеют место равенства

Ax1 = 1x1, (1)

Ax2 = 2x2,(2)

где 1 и 2 – собственные значения оператора А, причем 1<> 2.

Умножим равенство (1) скалярно на х2, а (2) на ч1 и вычтем второе из первого. Тогда можем написать

(Ах1,x2) – (Ax2,x1) = (1 - 2)(x1,x2) (3)

Так как оператор A симметричный, то левая часть равенства (3) равна нулю, а это значит, что при 1<> 2 выполняется равенство (x1,x2) =0, что и требовалось доказать.

47. Сколько взаимно ортогональных собственных векторов имеет симметрич­ный оператор в n‑мерном евклидовом пространстве?

Теорема. Симметричный оператор A в n-мерном евклидовом пространстве R имеет n взаимно ортогональных собственных векторов.

По этому вопросу кроме этой мини теремки вообще ответов нет, в инетике тоже не нашлось, вообщем будем надеяться, что он никому не попадется.

48. Какой вектор называется проекцией вектора на подпространство евклидова пространства?

Пусть R – евклидово пространство и у – произвольный вектор R, а R’ – некоторое подпространство R. если у = х + h, где вектор х принадлежит R’, а вектор h ортогонален к этому подпространству. Вектор х – называется проекцией вектора у на подпространство R’.

49. Какой вектор называется перпендикуляром к проекции вектора на подпространство евклидова пространства?

Пусть R – евклидово пространство и у – произвольный вектор R, а R’ – некоторое подпространство R. если у = х + h, где вектор х принадлежит R’, а вектор h ортогонален к этому подпространству. Вектор х – называется проекцией вектора у на подпространство R’, а вектор h – перпендикуляром к вектору х (перпендикуляром к проекции вектора у на подпространство R’).

50. В чём суть метода наименьших квадратов?

Даны n экспериментальных значений, нужно выявить линейную зависимость. Для этого нужно, чтобы среднее квадратичное расстояние между теоретическими значениями и экспериментальными Р2=∑(y(xi) - yi)2 было минимальным по сравнению с другими. Ф(а, b) =∑(yi – F(xi, a,b))2. Далее находим частные производные функции Ф по а и по b, приравниваем к нулю, получаем систему уравнений с двумя неизвестными, решаем ее, находим коэффициенты, получаем линейную зависимость у = ах + b.