37. Что такое ортогональное преобразование в евклидовом пространстве?

Пусть базисы е₁, е₂, е₃ и е’₁, e’₂, e’₃ ортонормированные.

Тогда справедливо:

e’₁e’₁=e’₂e’₂=e’₃e’₃=1, e’₁e’₂=e’₂e’₃=e’₂e’₃=0 (1). Подставляя представление базиса e’ в базисе е:

e'1=t11e1+t21e2+t31e3; e'2=t12e1+t22e2+t32e3; e'3=t13e1+t23e2+t33e3,

в (1) и учитывая, что векторы е1, е2, е3 тоже единичны и взаимно ортогональны, получим:

t₂₁₁+t₂₂₁+t₂₃₁=1; t₁₁t₁₂+t₂₁t₂₂+t₃₁t₃₂=0;

t₂₁₂+t₂₂₂+t₂₃₂=1; t₁₁t₁₃+t₂₁t₂₃+t₃₁t₃₃=0;

t₂₁₃+t₂₂₃+t₂₃₃=1; t₁₂t₁₃+t₂₂t₂₃+t₃₂t₃₃=0. (2)

Всякая матрица Т, элементы которой удовлетворяют соотношениям (2), называется ортогональной, а соответствующее преобразование – ортогональным преобразованием.

Линейное преобразование j евклидова пространства Еп называется ортогональным преобразованием этого евклидова пространства, если оно сохраняет скалярный квадрат всякого вектора, т. е. для любого вектора а (аj, аj)=(а, а).

38. Что происходит с длинами векторов и углами между ними при ортогональ­ном преобразовании в евклидовом пространстве?

Жесть, ответ короче вопроса, блин и больше инфы не ма в официальных источника,. поэтому, инфа с инета осторожней с обозначениями могут быть расхождения.

При ортогональном преобразовании сохраняются длины векторов и углы между ними.

39. Как вычисляется матрица линейного оператора при изменении базиса?

Обозначим через А матрицу некоторого линейного оператора в старом базисе, а через В – матрицу того же оператора в новом базисе. Если обозначить через Х и Y – одностолбцовые матрицы, элементами которых являются координаты векторов прообраза и образа в старом базисе, а через X’ и Y’ – одностолбцовые матрицы, элементами которых являются координаты векторов – прообраза и образа в новом базисе, тогда

Y = AB; (1) Y’ = BX’.(2)

Обозначив через Т – матрицу поворотоа координатной системы, будем иметь:

X = TX’;(3)Y = TY’.(4)

Подставив (1) и (3) в (4), получим:

TY’= ATX’, откуда:

Y’ = T-1ATX’. Сравнивая последнее равенство с (2) и используя определение равенства матриц, сможем написать выражение для матрицы рассматриваемого оператора в новом базисе B = T-1AT.

40. Какое подпространство линейного пространства называется инвариантным относительно линейного оператора?

Пусть в линейном пространстве R задан линейный оператор A. Подпространство R′ линейного пространства R называется инвариантным относительно оператора A, если для всякого вектора x из подпространства R′ следует, что вектор Ax так же принадлежит R′.

41. При каком условии вектор инвариантного подпространства оператора будет являться собственным вектором этого оператора?

Всякий (ненулевой) вектор, принадлежащий одномерному инвариантному подпространству, оператора A называется собственным вектором оператора A, то есть вектор x ≠ 0 называется

собственным вектором оператора A, если оператор A переводит вектор x в коллинеарный ему вектор: Ax = x,

где число  называется собственным значением (собственным числом) оператора A, соответствующим собственному вектору x.

42. Как выглядит характеристическое уравнение оператора?

Пусть e1,..,en – базис n- мерного пространства Rn и A – некоторый линейных оператор. Допустим, что вектор х = ∑xkek есть собственный вектор оператора A, так что Ax = x, где  – собственное значение, соответствующее собственному вектору x.

Mожем записать последнее равенство в координатной форме:

a₁₁x₁+…+a_1nx_n = x₁,

a₂₁x₁+…+a_2nx_n = x₂,

…

a_n1x₁+…+a_nnx_n = x_n,

где x1,…,xn – координаты вектора х в выбранном базисе, а аij – элементы матрицы А линейного оператора А в базисе е. систему можно записать в виде:

(a11-)x1+…+a_1nx_n = 0,

a₂₁x₁+…+a_2nx_n = 0,

…

a_n1x₁+…+(a_nn - )x_n = 0.

Т.к. искомый собственный вектор не нулевой, то среди его координат х1,…,xn должна быть хоть одна отличная от нуля, а это значит, что система должна иметь ненулевое решение. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Данное уравнение называется характеристическим уравнением оператора А.