4 В 1. О______о Странненько, конечно, но возразить нечего, поэтому пусть так.

Если оператор обозначить буквой , то результат его применения к элементу записывают в виде

Множество называется областью определения оператора , элемент при этом называется образом элемента , а сам элемент – прообразом элемента . Совокупность всех образов называется областью значений оператора . Если каждый элемент ′ имеет только один прообраз, то оператор называется взаимно однозначным. Множество элементов , удовлетворяющих равенству , называются ядром оператора .

Будем в дальнейшем под и понимать линейное пространство .

28. При каких условиях оператор линейного пространства называется линей­ным?

Определение. Оператор называется линейным, если для любых двух векторов и из и произвольного числа выполняются условия:

1. (аддитивность);

2. (однородность).

29. Как определяется матрица линейного оператора линейного пространства?

Определение. Матрица называется матрицей линейного оператора в базисе , а сам этот оператор называют оператором с матрицей в базисе .

Если ввести в рассмотрение одностолбцовую матрицу

(4.3)

и вычислить произведение матриц

то получим одностолбцовую матрицу, элементами которой являются суммы, стоящие в правых частях равенств (4.1).

Если же ввести в рассмотрение матрицу

(4.4)

и воспользоваться понятием равенства матриц, то система:

может быть записана в виде:

(4.5)

30. Приведите примеры линейных операторов линейного пространства.

Приведем наиболее известные примеры линейных операторов и соответствующие им матрицы.

1. Поворот плоскости вокруг начала координат на угол против часовой стрелки, так что произвольный вектор переходит в вектор .

Для вывода формул преобразования координат сделаем чертеж (рис.1).

Рис. 1

Обозначим через и соответственно координаты векторов и . Непосредственно видно, что

Учитывая, что и

получаем формулы преобразования координат

а тогда для матрицы оператора имеем

2. Растяжение вдоль оси в раз, а вдоль оси в раз. Формулы преобразования координат в этом случае имеют вид:

а матрица оператора

Рис.2

3. Зеркальное отражение относительно оси . В этом случае формулы преобразования имеют вид

матрица оператора

а на чертеже (рис.2) произвольной точке будет соответствовать точка .

4. Поворот в обычном трехмерном пространстве на угол вокруг оси . Формулы преобразования координат имеют в этом случае следующий вид

а матрица оператора

5. Тождественный оператор. Так называется оператор, при котором преобразование координат определяется формулами

и, следовательно, матрица оператора в любом базисе имеет вид

6. Нулевой оператор. Для всех векторов из имеем

Матрица этого оператора обозначается и состоит из одних нулей, так что

31. Какой оператор называется суммой линейных операторов?

Определение. Суммой операторов и в пространстве называется такой оператор , для которого выполняется равенство

где – любой вектор из .

Можно показать, что сумма линейных операторов является линейным оператором, причем его матрица равна сумме матриц и операторов и , то есть .