8. Приведите примеры линейно зависимых элементов линейного пространства, элементами которого являются многочлены от одной переменной.

9. Какая система векторов линейного пространства называется базисом?

Система n линейно независимых векторов e₁,e₂,…,e_n линейного пространства L называется базисом этого пространства, если всякий вектор а из этого пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов e₁,e₂,…,e_n, т.е. а=А₁e₁ + А₂e₂ +…+ А_ne_n, где А₁, А₂, …, А_n – коэффициенты линейной комбинации.

Теорема Коэффициенты А1, А2, …, Аn определяются единственным образом.

(доказывается от противного, приравниваем и почленно вычитаем)

10. Чем определяется размерность линейного пространства?

Линейное пространство L, в котором существует базис из n векторов, называют n-мерным, а число n – размерностью пространства L. Иногда, чтобы указать размерность пространства пишут Ln.

11. Что называется подпространством линейного пространства?

Подпространство линейного пространства L – множество элементов из L, которое само является линейным пространством с теми же операциями сложения и умножения на число.

12. Какие примеры подпространств линейного пространства вы знаете?

13. Как определяется скалярное произведение векторов линейного пространст­ва?

Скалярное произведение двух векторов (элементов линейного пространства) и . В соответствии с определением справедлива следующая формула

, (1)

которая по известным длинам и векторов и и углу между ними позволяет найти их скалярное произведение. Из курса векторной алгебры известно, что если векторы и заданы своими координатами и , то скалярное произведение может быть вычислено по формуле

. (2)

Заметим, что если известны координаты векторов и , то, используя формулу (2), можно вычислить их скалярное произведение и квадрат длины (как скалярное произведение на самого себя.) Зная же скалярное произведение векторов и длины каждого из них, мы сможем с помощью формулы (1) найти угол между векторами.

14. Какое линейное пространство называется евклидовым?

Определение 1. Вещественное линейное пространство называют евклидовым, если в нем определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам и вещественное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое , и при этом выполнены следующие условия:

1. ;

2. , для любого вектора ;

3. , для любого числа ;

4. , если .

Пример. В векторной алгебре для множества свободных векторов было определено скалярное произведение двух векторов, как произведение их длин на косинус угла между ними. Было доказано, что таким образом определенное скалярное произведение обладает всеми свойствами 1–4 определения евклидова пространства.

15. Какие примеры евклидовых пространств вы знаете?

Пример 1. В векторной алгебре для множества свободных векторов было определено скалярное произведение двух векторов, как произведение их длин на косинус угла между ними. Было доказано, что таким образом определенное скалярное произведение обладает всеми свойствами 1–4 определения евклидова пространства.

Пример 2. В линейном пространстве одностолбцовых матриц можно ввести скалярное произведение векторов по формуле: (a*b) = a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n.

,

На это определение можно смотреть как на обобщение формулы, выражающей скалярное произведение векторов в векторной алгебре, заданных своими координатами. Нетрудно проверить непосредственно, что все 1–4 условия выполнены.

Пример 3. В линейном пространстве C[a,b] непрерывных функций на [a,b] можно ввести скалярное произведение функций x(t), y(t) по формуле:

Выполнение условий 1-4 легко проверить, применяя основные правила интегрирования. Пространство C[a,b], с таким образом выделенным скалярным произведением обозначается через C₂[a,b].