58. Всегда ли имеет решение задача приведения к каноническому виду двух квадратичных форм, заданных в n‑мерном пространстве?

Задача приведения двух квадратичных форм В(x, x) и А(x, x) к каноническому (диагональному) виду не всегда имеет решение. Если же допустить, что одна из этих форм, например В(x, x), положительно определенная, то поставленная задача имеет решение.

Для того чтобы в этом убедиться обозначим через B(x, y), симметричную билинейную форму, соответствующую квадратичной форме B(x, x), и в пространстве R евклидову метрику, положив (x, y) = B(x, y).

Так как квадратичная форма B(x, x) симметричная и положительно определенная, то аксиомы скалярного произведения выполняются. Ранее было показано, что существует ортонормированный базис (относительно введенной нами метрики), в котором квадратичная форма принимает вид где x1,x2,…,xn – координаты вектора Х в построенном базисе.

В этом же базисе квадратичная форма В(х,х) имеет вид: В(х,х)=х12+х22+…+хn2, а это значит, что базис, в котором обе квадратичные формы A(x,x) и B(x,x) имею канонический вид, существует.

59. Применение квадратичных форм при анализе малых колебаний механических систем?

Из курса «Теоретическая механика» известно, что положение механической системы с n степенями свободы задается с помощью n обобщенных координат q1, q2, … , qn.

T –кинетическая энергия системы, П – потенциальная энергия системы.

где - обобщенные скорости, - коэффициенты, зависящие от координат q1, q2, … , qn.

координаты q1, q2, … , qn.

Так как обе квадратичные формы Π и Т являются положительно определенными, то существует линейное преобразование координат q1, q2, … , qn в координаты p1, p2, … , pn

Формулы (i = 1,2,…,n) приводят квадратичные формы П и Т к виду

В обобщенных координатах p1, p2, … , pn уравнения Лагранжа примут вид

(i = 1,2,…,n),

решения которых могут быть записаны в виде

,

где константы Ai и ti определяются из начальных условий. Величины ωi называются собственными частотами системы. Следовательно, каждая из координат pi совершает гармонические колебания с собственной частотой ωi.

60. Что называется метрическим пространством?

Метрическим пространством называется всякое множество Х элементов произвольной природы вместе с однозначной, неотрицательной, действительной функцией p(x, y), определенной для любых элементов x и y из X, удовлетворяющих следующим трем условиям:

1. p (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;

2. p (x, y) = p (y, x) аксиома симметрии;

3. для любых трех элементов x, y, z выполняется неравенство

p (x, y) ≤ p (x, z) + p (z, y) аксиома треугольника.

Определение: Элементы x и y метрического пространства Х называют точками, функцию p(x,y) – расстоянием между точками x и y, а само метрическое пространство, т.е. пару Х, p, обозначают одной буквой R=(X,p)

61. Приведите примеры метрических пространств?

Множество действительных чисел с расстоянием p(x,y)=|x-y| образует метрическое пространство R′.

Множество возможных наборов из n упорядоченных чисел вида (x1,x2,…,xn), (y1,y2,…,yn), принимаемых за точки x=(x1,x2,…,xn), y= (y1,y2,…,yn) расстояния между которыми определяется равенством: , называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством Rn.

Множество, точками которого являются всевозможные последовательности x=(x1,x2,…,xn, …) вещественных чисел, удовлетворяющие условию: а расстояние определяется равенством , является метрическим пространством, которое обозначают l2.

Множество всех непрерывных действительных функций, определенных на промежутке [a,b], причем расстояние для любых двух элементов x(t), y(t) определено по формуле: , т.е. в этом случае расстояние есть максимальное отклонение одной функции от другой. Это метрическое пространство обозначают символом C[a,b].

62. Что называется замкнутым шаром метрического пространства?

Пусть означает некоторую точку метрического пространства x0, а r – положительное число.

Определение. Совокупность точек x пространства R, удовлетворяющих неравенству называется замкнутым шаром и обозначается символом

Точка x0 называется центром этого шара, а число r – радиусом шара.

63. Что называется открытым шаром метрического пространства?

Совокупность точек x пространства R, удовлетворяющих неравенству называется открытым шаром и обозначается символом

Открытый шар радиуса ε с центром в точку x0 называют ε-окретсностью точки x0 и обозначают

64. Что называется предельной точкой множества метрического пространства?

Точка x ∈ R называется предельной точкой множества M ⊂ R, если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из M.

65. Что называется изолированной точкой множества метрического пространства?

Точка х, принадлежащая называется изолированной точкой этого множества, если в достаточно малое ее окрестности нет точек из М, отличных от х.

66. Сформулируйте необходимое и достаточное условие для точки прикосновения множества метрического пространства.

Точка x∈ R называется точкой прикосновения множества M ⊂ R , если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку из M.

Последовательность {xn} сходится к точке х, если

Теорема. Для того чтобы точка x была точкой прикосновения множества M, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность {xn} точек из M, сходящаяся к x.

67. При каком условии множество метрического пространства является замкнутым?

Совокупность всех точек прикосновения множества M называется замыканием этого множества и обозначается символом [M].

68. При каком условии последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной?

Последовательность {x_n} точек метрического пространства R называется фундаментальной, если для любого ε>0 существует такое число Nε , что для всех n>N выполняется неравенство

Нетрудно заметить, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Однако обратное утверждение верно не во всяком метрическом пространстве.

69. Какое метрическое пространство называется полным?

Если в метрическом пространстве R любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.

Например, евклидовы пространства R′, Rn , а также пространство C[a,b] являются полными.

70. Какое отображение называется сжимающим?

Отображение A метрического пространства R в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число α < 1, что для любых двух точек x и y пространства R выполняется неравенство .

Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если выполняется равенство Ax = x.

71. В чём сущность принципа сжимающих отображений?

Отображение метрического пространства в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число , что для любых двух точек и пространства выполняется неравенство

Точка называется неподвижной точкой отображения , если выполняется равенство

Можно показать, что имеет место следующее утверждение.

Теорема (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве , имеет одну и только одну неподвижную точку.