§2.4. Применение диверсификационной модели к формированию инвестиционного портфеля.

2.4.1. Понятие инвестиционного портфеля.

Инвестиционным портфелем (портфелем инвестора) называется набор ценных бумаг, находящихся в собственности участника рынка.

Ценные бумаги являются источниками дохода в виде дивидендов и капитализации (роста их стоимости).

Однако, стоимость каждого вида ценных бумаг складывается под действием множества случайных факторов и подвержена большим колебаниям.

Следовательно, инвестор рискует, вкладывая свои средства в покупку ценных бумаг. Инвестору приходится заключать компромисс между стремлением к прибыли и стремлением уклониться от риска.

2.4.2. Модель инвестиционного портфеля.

Пусть в начальный момент времени t=0 инвестор покупает различные ценные бумаги на некоторую сумму p, рассчитывая, что в момент t=1 эти же ценные бумаги будут стоить сумму p’.

Разность (p’– p) составляет доход инвестора, а относительная величина (27) - доходность инвестиционного портфеля.

Очевидно, что p’ – СВ;

dp – СВ;

p=const.

В портфель инвестора входят бумаги различных типов 1, 2, …, i, …, n, на которые он тратит средства p₁, p₂, …, p_i, …, p_n.

Причем, .

Разделим обе части на p: .

- доля инвестиций в ценные бумаги вида i.

.

В момент времени t=1 ценная бумага вида i принесет доход p_i’(i=1,2,…,n). Очевидно, что p_i’ – СВ.

Весь доход p’:

(28)

(29)

В левой части: - доходность портфеля.

В правой части: - доходность ценной бумаги вида i;

- доля ценных бумаг вида i в портфеле инвестора.

Таким образом, получаем следующую формулу:

(30)

С точки зрения теории риска набор чисел x₁, x₂, …, x_i, …, x_n представляет собой смешанную стратегию.

Предположим, что доходности d₁, d₂, …, d_n – СВ с известными математическими ожиданиями m₁, m₂, …, m_n и среднеквадратическими отклонениями σ₁, σ₂, …, σ_n.

По формулам предшествующих параграфов найдем среднюю ожидаемую доходность и риск инвестиционного портфеля.

(31)

(32)

где К_ij – коэффициент корреляции между доходностью di и dj.

Уравнение (32) можно выразить с помощью коэффициента ковариации:

(33)

Пользуясь уравнениями (31)-(33) можно ставить и решать задачи формирования портфеля инвестора с заданными свойствами.

Например, портфель, который обеспечивает определенный доход при минимальном риске, или портфель, риск которого не превышает заданной величины.

2.4.3. Портфель заданной средней доходности и минимального риска (портфель Марковица).

При заданных значениях m₁, m₂, …, m_n – средние доходности ценных бумаг каждого вида и известных значениях σ₁, σ₂, …, σ_n – СКО, а также при известных значениях коэффициента корреляции К_ij (i=1,…,n; j=1,…n).

Требуется найти такие величины x₁, x₂, …, x_n (доли ценных бумаг каждого вида в портфеле инвестора), которые обеспечивали бы среднюю доходность портфеля (заданное число) при минимальном риске .

Пользуясь формулами (31)-(33), мы формулируем задачу о портфеле Марковица как задачу квадратического программирования.

Найти x₁, x₂, …, x_n, для которых целевая функция принимает минимальное значение при следующих ограничениях:

Ограничение может быть снято, какие-то значения x_i могут быть < 0.

Это возможно в том случае, когда инвестору доступна финансовая операция “short sale”.

Пусть x₁ < 0 (например, x₁=-0,3). А весь портфель в момент времени t=0 инвестор собирается покупать за p=100000.

Он покупает ценные бумаги первого типа в объеме:

-0,3*100000=-30000.

Т.е. фактически: продает.

“Short sale”: в момент времени t=0 инвестор заключает договор с другим лицом. Получаем сумму (-x₁*p), т.е. +30000. А в момент времени t=1 он должен выплатить контрагенту доход p’=(-x₁)*p’. Т.е. 0,3*p’ (в эту сумму включаются также дивиденды за этот период). Дополнительные деньги, полученные в момент t=0, инвестор направляет на покупку других ценных бумаг.

2.4.4. Портфель Тобина.

Портфель Тобина – это портфель минимального риска с использованием безрисковых активов.

Постановка задачи.

Пусть на рынке есть безрисковые ценные бумаги. С некоторой натяжкой такими можно считать государственные облигации (государственные ценные бумаги).

Инвестор распределяет свой капитал (равный единице) между безрисковыми активами и рисковыми активами.

Доля инвестиций в безрисковые активы – x₀, тогда как доля в рисковые активы – (1- x₀).

Рисковые активы состоят из ценных бумаг различного вида. Будем считать, что этих бумаг n: 1, 2, …, i, …, n. Обозначим долю каждой рисковой ценной бумаги как x_i (i=1…n).

Тогда справедливо тождество:

(1)

Обозначим: m₀ – доходность безрисковых ценных бумаг;

m_i – доходность рисковой ценной бумаги вида i;

m_p – доходность всего портфеля.

Тогда очевидно тождество:

(2)

Задача заключается в том, чтобы найти такие числа {x₁, x₂, …, x_n}, для которых риск портфеля будет минимальным (σ_p min) при условии, что доходность принимает заданные значения (m_p=const).

Для формализации задачи обозначим: V_ij (i=1…n; j=1…n) – коэффициент ковариации ценных бумаг вида i и j.

Очевидно, .

Будем также считать, что безрисковые ценные бумаги абсолютно не коррелированны с остальными.

Найдем дисперсию (вариацию) рисковой части портфеля V_r:

(3)

Найдем дисперсию (вариацию) всего портфеля V_p:

(4)

Найдем риск портфеля r_p:

(5)

Уравнения (2)-(5) позволяют нам формализовать задачу Тобина в следующем виде:

(6)

при условиях:

(7)-(8)

Без вывода запишем решение задачи Тобина. Для этого введем следующие обозначения:

- вектор-столбец, элементами которого являются доли рисковых ценных бумаг;

- вектор-столбец, элементами которого являются доходности рисковых ценных бумаг;

- вспомогательный вектор.

Тогда матричная величина .

Введем матрицу ковариаций (размером n n):

- матрица является симметричной, т.к. .

Поэтому транспонированная матрица будет совпадать с исходной:

Введем матрицу: V^-1 – обратная матрица ковариации. Она также симметричная ( ).

Тобин доказал, что решением задачи (6)-(8) является вектор-столбец X^*, удовлетворяющий уравнению:

(9)

Покажем, что выражение в знаменателе формулы (9) является числом:

- матричный столбец n 1;

- n n;

- 1 n.

Первое действие:

Второе действие: число.

Обозначим число в знаменателе как d²:

(10)

(11)

- n n

- n 1 матрица n 1 (матрица-столбец).

Элементы матрицы-столбца не зависят от доходности портфеля m_p. Все равно, что доходность 10, что доходность 40.

Элементы вектора-столбца определяют долю ценных бумаг каждого вида в рисковой части портфеля.

Коэффициент показывает доли этих бумаг во всем портфеле. Эта доля прямо пропорциональна разности и обратно пропорциональна d².

Найдем минимальный риск портфеля Тобина. Для этого уравнение (6) запишем в матричном виде:

(12)

Теперь в формулу (12) подставим X=X* из уравнения (11):

Итак, вариация всего портфеля будет равна:

(13)

Отсюда находим минимальный риск портфеля:

(14)

Из формулы (14) следует:

(15)

В портфеле Тобина доходность является линейной функцией от риска.

2.4.5. Портфели Марковица и Тобина максимальной доходности.

Использование коэффициента ковариации ценных бумаг в портфеле инвестора позволяет ставить две взаимообратные задачи оптимальности:

1. нахождение портфеля минимального риска при заданной доходности;

2. нахождение портфеля максимальной доходности при заданном значении риска.

Будем ставить вторую задачу. Существует два варианта:

• нет безрисковых бумаг – портфель Марковица;

• есть безрисковые бумаги – портфель Тобина.

1. Портфель Марковица максимальной доходности.

при условиях:

2. Портфель Тобина максимальной доходности.

при условиях:

Найдем решение задачи Тобина. Для этого запишем условия в матричной форме.

(1)

при условиях:

(2)-(3)

Задачу (1)-(3) оптимизации будем решать с помощью функции Лагранжа (две управляемые переменные: x₀ и X; два условия: λ₁ и λ₂).

Найдем частные производные функции Ф по переменным x₀ и X:

(4)-(5)

Из уравнения (4) выразим и подставим в уравнение (5):

(6)