1 Линейные уравнения, системы линейных уравнений

Цель: студенты должны научиться решать системы линейных уравнений различными методами

Линейные уравнения

Линейное уравнение с одной переменой – уравнение вида ах+b=0, где а и b – некоторые постоянные. При решении линейного уравнения могут быть три случая:

1) а ≠ 0, тогда х = - в:а

2) а=0, в=0, тогда уравнение принимает вид: 0∙х=0. Корнем уравнения является любое действительное число.

3) а=0, в ≠ 0, тогда уравнение принимает вид: 0∙х=в, уравнение корней не имеет.

1.2 Системы линейных уравнений и способы их решения

Система линейных уравнений – система, все уравнения которой линейны. Прежде чем решать систему линейных уравнений, можно определить число ее решений.

1. Способ подстановки заключается в том, что в одном из уравнений выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляем в другое уравнение, которое после этого обращается в уравнение с одной переменной, а затем решают его. Получившееся значение этой переменной подставляют в любое уравнение исходной системы и находят значение второй переменной.

2. Способ сложения заключается в том, что если данная система состоит из уравнений, которые при почленном сложении образуют уравнение с одной переменной, то, решив это уравнение, мы получим значение одной из переменных. Значение второй переменной находят как и в способе подстановки.

3. Графический способ заключается в том, что в одной системе координат строятся графики уравнений. Если графики пересекаются, то координаты точки пересечения являются корнями уравнений. Если графики являются параллельными прямыми, то система не имеет решений. Если графики уравнений сольются в одну прямую, то система имеет бесконечное множество решений.

1.3 Определители второго порядка

Определителем второго порядка называется число

Задания для самостоятельной работы:

1. Вычислите определители второго порядка:

а) б) в) г)

1.4 Определители третьего порядка

Определителем третьего порядка называется число

Этот способ вычисления носит название «метод треугольников Саррюса» и подчиняется следующему правилу: первые три слагаемых со знаком (+)  это произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали Следующие три слагаемых со знаком (-)  это произведения элементов на побочной диагонали и элементов, стоящих в вершинах треугольников, с основаниями, параллельными побочной диагонали.

Определитель можно разложить по элементам любой строки или столбца.

На практике удобно пользоваться схемами знаков алгебраических дополнений:

- для определителя третьего порядка;

При вычислении определителей удобно пользоваться следующими их свойствами:

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (транспонирование).

При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.

Определитель, имеющий две линейно зависимые (пропорциональные) строки (столбца) равен нулю. В частности, определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю.

Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя. В частности, определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен нулю.

Значение определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, отличное от нуля.

Пример 1. Найти значения определителей:

а) ; б)