6.5 Шар и сфера
Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространства, удаленных от данной точки О (центра) на заданное расстояние R(радиус)
Шар — геометрическое место всех точек, удаленных от заданной точки О (центра) на расстояние, не превышающее данной величины R(радиуса).
Шаровая поверхность является границей, отделяющей шар от окружающего пространства.
Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращая окружность (круг) вокруг одного из диаметров.
Объём шара
Объём
шара радиуса R
равен
.
Шаровой слой
Шаровым
слоем называется часть шара, заключённая
между двумя параллельными секущими
плоскостями
Шаровой сектор
Рассмотрим конус вращения с вершиной в центре шара. Часть шара, лежащая внутри такого конуса, называется шаровым сектором. Шаровой сектор разлагается на два тела: шаровой сегмент высоты h и конус высоты R-h. Шаровая поверхность пересекается с конусом по окружности.
7 Предел функции
Цель: студенты должны уметь находить пределы функции, раскрывать неопределенности различных видов
7.1 Раскрытие неопределенностей вида
Найти пределы функции.
Решение:
Здесь х→∞, при этом числитель и знаменатель также стремятся к ∞. Символически этот случай обозначают
и называют «неопределенностью типа
».
Очевидно, что непосредственно применить
теорему о пределе частного здесь нельзя.
Преобразуем предварительно данную
дробь, разделив и числитель, и знаменатель
на х3
(старшая степень знаменателя).
.
(Величины
- бесконечно малые, при х→∞ их пределы
равны нулю).
Имеем неопределенность типа . Старшая степень числителя равна 5, а старшая степень знаменателя 2. Числитель, и знаменатель поделим на х5.
.
Предел числителя в полученной дроби равен 4, а предел знаменателя равен нулю, знаменатель при х→∞ - величина бесконечно малая (теорему о пределе частного применить нельзя). Итак, наша дробь, как величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой величиной и ее предел равен бесконечности.
Пример.
Пример.
Задания для самостоятельной работы
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
5.
а)
б)
в)
6.
а)
б)
в)
7.
а)
б)
в)
8.
а)
б)
в)
9.
а)
б)
в)
10.
а)
б)
в)
11. а) б) в)
7.2 Раскрытие неопределенностей вида
Найти пределы функции.
Решение:
Разложим числитель и знаменатель дроби на множители, по формуле:
,
где х1 и х2 – корни квадратного
трехчлена. Затем сократим дробь на
(х-5).
.
2.
.
Имеем неопределенность вида
.
Для раскрытия неопределенности выделим
в числителе и знаменателе множитель,
за счет которого они обращаются в нуль,
в данном случае множитель
,
после чего находим предел:
.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
