4. 3. Методы оптимального синтеза.

Выходные параметры имеют оптимальные значения, если при выполнении дополнительных условий целевая функция имеет экстремальное значение.

В практике применяют различные методы оптимиза­ции (обычно с применением ЭВМ).

1. Случайный поиск (метод Монте-Карло). Основан на том, что вероятность получения оптимального вариан­та при одном и том же числе испытаний при случайном поиске выше.

Сущность метода в том, что из случайного набора чисел назначаются выходные параметры синтеза, проверяют­ся дополнительные условия и вычисляется целевая функция. Это проводят до тех пор, пока целевая функция не перестанет уменьшаться.

2. Направленный поиск. При этом методе первый вы­ходной параметр целенаправленно изменяют до тех пор, пока не достигнут минимума целевой функции, при этом другие выходные параметры - неизменны. Затем также изме­няют второй выходной параметр при неизменных остальных, и ищут минимум целевой функции, затем третий и т. д. по­ка не будет найден глобальный минимум целевой функции по всем выходным параметрам.

Недостаток этого метода в том, что локальный мини­мум целевой функции (см. рис. 4.2) может быть принят за глобальный, что приведет к ошибочным результатам. Частично лишен этого недостатка метод комбинированного поис­ка.

3. Метод комбинированного поиска. Этот метод является сочетанием первых двух.

Кроме перечисленных методов поиска экстремума це­левой функции широкое распространение получают методы:

4. 4. Синтез механизмов на основании заданной целевой функции.

Перепишем (4.1) в виде: D_B(z)=z(z)Dz (4. 2)

где D_B(z) "взвешенная" разность отклонение), z(z) некоторая непрерывная функция, необращающаяся в нуль на заданном интервале изменения параметра z. Эта функция называется "весом" и, в частном случае, может быть постоянной.

Введение взвешенного отклонения позволит ошибку представить в виде полинома

D_B(z)=P₀f₀(z)+P₁f₁(z)+…+P_nf_n(z)+f_n+1(z) (4.3)

где P₀,P₁…P - члены полинома, а функция f0(z),f1(z) только от переменного параметра z .

Для пояснения сказанного рассмотрим кулисный меха­низм с качающимся ползуном 3 (рис. 4. 3). Запишем выраже­ние для отклонения и взвешивания отклонения траектории точки Д от некоторой прямой x=l.

Рис.4.3 К определению целевой функции механизма

За переменный пара­метр z примем из­меняющееся расстояние l_BC ,являющееся функцией угла поворота кривошипа :

Запишем выражение для координаты x_D:

Составим целевую функцию:

D(z)=x_D-l=A(P₀+P₁z+P₂1/z+z²) (4.4)

где A=-1/2l₃; P₀=2l₃l-l₃²-l₁²; P₁=-l₂; P₂=-l₂(l₃²-l₁²);

Перепишем (4) в виде взвешенного отклонения:

D_B(z)=D(z)1/A=P₀+P₁z+P₂1/z+z²

где 1/A - вес

Необходимо так подобрать постоянные параметры l₁; l₂; l₃, чтобы траектория точка Д максимально приближалась к заданной прямой x=l.Поставленная задача решается приближенными методами. Ниже рассмотрим интерполяцион­ный метод и метод наилучшего приближения функций.

4. 5. Интерполяционный метод синтеза механизмов.

Интерполяционный метод синтеза, его сущность за­ключается в том, что на участке приближения F(z) к j(z) отклонение или взвешенное отклонение при некоторых зна­чениях z_i назначаемых в заданных пределах z₀ £ z £ z_m принимаются равными нулю (рис. 4.4). Таким образом, в точках z₁,z₂ кривые F(z) и j(z) пересекаются. Такое интерполирование называется точечным. Эти точки называются узлами интерполирования. Очевидно, что в узлах интерполирования:

P₀f₀(z₁)+P₁f₁(z₁)+…+P_nf_n(z₁)+f_n+1(z₁)=0

P₀f₀(z₂)+P₁f₁(z₂)+…+P_nf_n(z₂)+f_n+1(z₂)=0

P₀f₀(z_k)+P₁f₁(z_k)+…+P_nf_n(z_k)+f_n+1(z_k)=0

Понятно, что число узлов интерполирования должно быть равно числу независимых па­раметров (размеров механизма), подлежащих определению. Нап­ример, в рассматриваемом ку­лисном механизме, при задан­ном значении межосевого рас­стояния l₃ имеем три неизвестных параметра l₁, l₂, l₃.

Следовательно, для приближения функции F(z)=xD к x=l необходимо назначить три интерполяционные точки и соста­вить три уравнения (7).