2.5.2 Определение положений точек в замкнутых кинематических цепях.

Положение точки в замкнутой кинематической цепи определяете из условия замкнутости контуров.

Для этого выражают координаты точки через параметры правой и ле1 части контура и приравнивают эти параметры.

Р ассмотрим плоскую замкнутую кинематическую цепь на примере шарнирного четырехзвенника.0

Рис 2. 12 Определение положения точки В в четырехзвенном шарнирном механизме.

С неподвижным и тремя подвижными звеньями свяжем свою систему координат

Известны длины всех звеньев, координаты точки Е в сис­темах и и обобщенная координата .

Требуется определить положение точки Е в системе S₀, связанной со стойкой.

Для решения этой задачи произведем последовательный переход от координат точки Е в системе S₂ к ее координатам в системе S₁ ,а затем и в системе S₀ через параметры левой части контура ОAB.

Первый переход описывается матричным уравнением

т. к.

или (2.8)

Второй переход (2.9)

или

Полный переход от системы к системе

Положение точки Е через параметры левой части контура ОСВ описывается матричным уравнением

(2.10)

или (2.11)

Приравнивая правые части формул (2. 11) и (2.8, 2. 9), выраженные

через параметры правой и левой части контура получим:

(2. 12)

После подстановки матриц и действий с ними получим систему двух уравнений

где

Полученная система уравнений позволяет найти параметры и , определяющие положение звеньев 2 и 3 в зависимости от обобщённой координаты , а затем и координаты любых точек этих звеньев.

В общем случае для многозвенной замкнутой кинематической це­пи координаты точки Е можно определить из уравнения

(2.14)

Лекция 7

План лекции

2.5.3 Определение положения точек в пространственных кинематических цепях.

2.5.4 Уравнения преобразования координат для кинематических пар.

2.5.5 Определение положения захвата пространственного манипулятора в неподвижной системе координат.

2.5.3 Определение положений точек звеньев в пространственных кинематических цепях.

Рассмотрим два звена и . С каждым из них свяжем свою систему координат и

Движение звена относительно звена i можно разложить на переносное поступательное и относительное вращательное.

Переносное поступательное движение характеризуется параллель­ным переносом осей координатной системы в новое положение с осями и с координатами начала в системе .

О тносительное вращательное движение характеризуется поворо­том осей системы относительно , выраженное через углы Эйлера.

Рис. 2.13. Преобразование координатных систем.

2. 14 Преобразование координатных систем.

Выразим координаты произвольной точки Е в системе . В соответствии с правилами аналитической геометрии

(2.15)

Системе (2.15) при добавлении тождества адекватно матричное уравнение вида

(2.16)

или

Коэффициенты , входящие в выражение матрицы M_ji представляют собой направляющие косинусы углов, образованных осями координат системы S_i с осями системы . Выражения для приведены в справочниках по математике. Для пространственной кинематической цепи матрицы, определяющие вращение звена j относительно координатных осей X, Y, Z и перемещение вдоль них, имеют вид:

(2.17)

(2.18)

(2.19)

Из данных матриц можно определить матрицы конкретных кинема­тических пар. Для этого в выражения (2.17,2.18,2.19) необходимо подставить уравнения связи.