3.1 Общая методика моделирования на авм

Процесс моделирования состоит из нескольких этапов:

Конкретизация условий задачи. Прежде всего целесообразно выяснить ожидаемый характер процесса, описываемого искомым решением. Характер процесса (сходящийся, расходящийся, колебательный) определяется устойчивостью или неустойчивостью системы, описываемой этим уравнением. Заведомо неустойчивые системы моделировать нежелательно, так как неустойчивость исходной системы может привести к повреждению конечной системы. Если установить характер процесса на основании физических соображений невозможно, следует подвергнуть анализу на устойчивость соответствующее характеристическое уравнение. Моделирование расходящихся функций всегда сопровождается значительными погрешностями. Во всех случаях желательно иметь сведения о пределах изменения переменных величин и их производных.

Приведение уравнения к виду, удобному для моделирования. При моделировании дифференциальных уравнений задача сводится к получению выражений для старших производных.

Составление структурной схемы. Процесс составления структурных схем описан в главе 1. Первый вариант схемы необходимо проанализировать для выяснения возможностей улучшения. Улучшения сводятся к минимизации числа вычислительных блоков, нагрузки каждого из них, а так же числа входов сумматоров и сумматоров – интеграторов; желательно избегать при аналогов моделировании вхождения в конечную схему элемента дифференцирования. Так же необходимо уменьшать до минимума сопротивление соединяющих проводников, ограждать элементы от нагрева во время работы выше их рабочих температур, исключать взаимное действие полей (электрических, магнитных) кроме соединений схемы. Такое улучшение конечной схемы моделирования даёт значительный выигрышь при реализации, так как снижаются ошибки, погрешности и различные генерации схем.

Масштабирование. После составления окончательной структурной схемы вводятся масштабы сходственных математических и машинных переменных так, чтобы они были положительными, так как диапазон изменения моделируемых величин велик, а диапазон изменения напряжения операционных элементов АВМ гораздо ниже.

Приходится также масштабировать и время изменения переменных, т.к. реальное время моделируемых процессов может изменяться в интервале от нескольких часов до микросекунд, а время воспроизведения на АВМ ограничивается интервалом в несколько минут, что обусловлено необходимостью регистрации решения и температурной стабильностью установки.

Аналоговые величины масштабируются следующим образом:

где Mx – масштаб переменной;

Umax – максимальное значение напряжения для АВМ;

Xmax – максимальное значение физической величины.

Аналогично избирается масштаб времени:

Конструктивно АВМ состоит из отдельных операционных блоков, каждый из которых выполняет одну математическую операцию.

Существуют различные типы АВМ, имеющие свои особенности. Однако, функциональные узлы большинства АВМ одинаковы по своему назначению. Поэтому в общем виде АВМ может быть представлена следующей структурной схемой (рис. 1):

Решающие блоки АВМ – основные блоки машины, осуществляющие выполнение математических операций над машинными переменными. Измерительные приборы – используются для измерения вводимых исходных величин и результатов решения. Система питания обеспечивает все необходимые напряжения для питания решающих блоков и других устройств машины. Система управления объединяет все блоки машины в единое целое и обеспечивает их функционирование и управление ими.

Основными функциональными элементами АВМ являются решающие блоки, которые, в зависимости от вида реализуемых ими математических операций подразделяются на линейные блоки и блоки нелинейности.

Линейные блоки АВМ

Базовым линейным решающим блоком электронных АВМ является операционный усилитель (ОУ). Операционный усилитель представляет собой усилитель постоянного тока (УПТ) с большим коэффициентом усиления, охваченный глубокой отрицательной обратной связью. С помощью различных комбинаций электрических емкостей и сопротивлений на входе усилителя и в цепи его обратной связи можно реализовать следующие математические операции над непрерывными величинами, представленными в виде напряжений постоянного тока:

· умножение на постоянный коэффициент

· изменение знака (инвертирование в аналоговом смысле)

· алгебраическое сложение

· интегрирование (во времени)

· дифференцирование (во времени).

Методика математического моделирования сводится к следующем этапам:

а) Составление уравнения (или системы уравнений) для моделируемого процесса:

F (y, x_j, q_i, t) = 0

б) Выбор известной или создание новой математической модели, знаковое описание которой аналогично описанию оригинала

F_M (y_M, x_Mj, q_Mi, t_M) = 0

Уравнение модели обычно называют машинным уравнением.

в) Обеспечение подобия уравнений за счет соответствующего выбора определения масштабов моделей

M_y = y_M / y; M_x = x_M / x; M_t = t_M / t =  / t

и расчета коэффициентов машинного уравнения;

г) Решение на модели машинного уравнения F_M = 0.