37°. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой. Уравнение плоскости в отрезках.
Рассмотрим
π, М1,
М2,
М3
ϵ π, (О,
,
,
)-аффинная
СК. М1(х1,у1,z1),
M2(x2,y2,z2),
M3(x3,y3,z3),
M(x,y,z).
(x2-x1,y2-y1,z2-z1),
(x3-x1,y3-y1,z3-z1)
=0
– ур-ние плоскости проходящей через
три точки. М1(a,0,0),
M2(0,b,0),
M3(0,0,c)
=0,
(x÷a)+(y÷b)+(z÷c)=1
–ур-ние плоскости в отрезках.
38.Частные случаи расположения плоскости относительно ск.
Рассмотрим
плоскость π: Ах+Ву+Сz+D=0,
(О,
,
,
).
Утверждение:
(
,
,
)ǁ
π: Ах+Ву+Сz+D=0
если а1*А+а2*B+а3*С=0,
при этом Р1(х1,у1,z1),
, Р1 ϵ
π ⟹
ǁπ,
A(x0+a1)+B(y0+a2)+C(z0+a3)+D=0,
A*a1+B*a2+C*a3=0,
π: Ах+Ву+Сz+D=0.
1)A=0,
0*x+B*y+C*z+D=0, B*y+C*z+D=0,
(1,0,0)ǁπǁOx.
2)B=0, A*x+C*z+D=0 ǁ Oy,
3)C=0, A*x+B*y+D=0 ǁ Oz,
4)D=0, A*x+B*y+C*z=0 проходит через начало координат,
5)А=0, В=0, C*z+D=0 ǁ Oxy,
6) A=0, C=0, B*y+D=0 ǁ Oxz,
7) A=0, D=0, B*y+C*z=0 и проходит через начало координат, Ох-лежит в плоскости π,
8)В=0, С=0, A*x+D=0 ǁ Oyz,
9)B=0, D=0, A*x+C*z=0 содержит ось Оу, Оу⊂π,
10) С=0, D=0, A*x+B*y=0, Oz⊂π,
11)A=0, B=0, D=0, C*z=0, z=0,ур-ние плоскости π=Оху,
12)A=0, C=0, D=0, y=0, π=Oxz,
13) B=0, C=0,D=0, x=0, π=Oyz.
39°. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через данную точку в данном направлении (каноническое уравнение прямой).
Пусть
∆ - нек. прямая,
Є ∆,
- напр. вектор., (О,
)
– аффинный репер,
,
,
MЄ
∆ - произвольн. точка., M(x,y,z),
//
,
,
– каноническое ур-ние прямой.
40°. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.
Пусть
∆ - нек. прямая,
Є ∆,
- напр. вектор., (О,
)
– аффинный репер,
,
,
MЄ
∆ - произвольн. точка., M(x,y,z),
,
r(x,y,z),
,
– параметрич. ур-ние прямой в векторной
форме, (x,
y,
z)=
+
,
,
41°. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Пусть
∆ - нек. прямая,
Є ∆,
,
,
MЄ
∆ - произвольн. точка., M(x,y,z),
– напр. вектор.
-
ур-ние прямой, проходящей через две
точки.
42. Взаимное расположение двух плоскостей.
Опр: прямая пересечения плоскости с координатной плоскостью наз. следом плоскости на координатной плоскости.
Теор:
пусть в нек. СК плоскости заданы ур-ниями:
, тогда:
1)
плоскости пересекаются 
; 2)
; 3)
.
Док-во.:
1) => Пусть плоскости пересекаются,
тогда найдём коор. Плоскость на которой
каждая оставляет след, например Oxy
(z=0)
прямые пересекаются (
)
2) =>
тогда
нет решений (
);
3) =>
СЛУ имеет бесконечное множество решений.
43.
Взаимное расположение двух прямых в
пространстве. Прямые:
скрещиваются, пересекаются, параллельны,
совпадают. Пусть (О,
),
:
;
:
; Теор.:
Пусть
– прямые, заданные каноническим ур-нием,
тогда: 1)
- некомпланарные
2)
пересек.
- компланарные, опр. = 0; 3)
; 4)
44. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пусть
(О,
)
∆:
= α; π: Ax+By+Cz+D=0;
Перейдём к параметрическому ур-нию в
координатной форме:
, αЄR;
A
α
= -
.
1)Если
= -
, значит прямая и плоскость пересекаются
(единственная общая точка);
2)
если
,
а
≠ 0; то 0 × α = -
ур-ние не имеет решений, значит прямая
и плоскость параллельны;
3)
если
, тогда 0×α=0, α – произвольное число.
Ур-ние имеет бесконечное множество
решений, значит прямая лежит в плоскости.
Теор.: Пусть (О, ) ∆: = α; π: Ax+By+Cz+D=0, тогда:
1)
∆ иπпересек. 
;
2)
∆//π
;
3) ∆ ᴄπ
45°. Расстояние от точки до плоскости.
Пусть
(O,
)
π:
Ax+By+Cz+D=0;
P
– не принадлежит плоскости. P
,
MЄπ,
M
,
PN
π
,
,
|
|=
|
|×
cos(
)
=
=
=
46. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Пусть
(O,
),
∆:
,
,
// ∆, P
,
ρ(P,∆)
= PN,
PN
– высота параллелепипеда, построенного
на векторах
и
,
ρ(P,∆)
=
=
=
47. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Пусть
(О,
),
:
;
:
; ρ(
)
=
=
=
48°. Угол между двумя плоскостями.
Угол
между двумя плоскостями равен углу
между между нормальными векторами к
этим плоскостям. Пусть (O,
),
,
,
(
)=
|
|=
=
49°. Угол между двумя прямыми в пространстве.
Угол
между двумя прямыми равен углу между
направляющими векторами. Пусть (О,
),
:
;
:
;
=
=
50. Угол между прямой и плоскостью.
∆: = α; π: Ax+By+Cz+D=0;
=90-
(
);
=
(
)-90;
sin
= |sin(90-
(
))|=
|
|
=
;
=
51. Эллипс и его каноническое уравнение
Пусть F1 и F2 – некоторые точки плоскости расстояние F1F2= 2C.
Опр: Эллипсом называется фигура состоящая из всех точек плоскости для которых сумма расстояний до двух фиксированных F1,F2 есть число постоянно равное 2а, где а>c,F1, F2 – называются фокусами. МF1 + МF2=2а.
Введем прямоуг. Систему координат . О – середина отрезка F1F2.
F1(-с,0) F2(с,0) M(x,y)-произвольная т. Эллипса.
МF1=
МF2=
+
=2a
2a-
=
возведем
и перегруппируем
Покажем
, что всякое уравнение
определяет
эллипс. Пусть точка М(х0,у0)-точка
удовлетворяющая урв-ию
Попробуем
найти МF1=
MF2
=
МF1+MF2
=
=2a
График круг