18°. Свойства линейных операций над векторами в координатной форме.
Пусть задана аффинная СК (О; 1; 2; 3).
(a1,
a2, a3)
= a1
1+a2
2+a3
3
(b1,
b2, b3)
= b1
1+b2
2+b3
3
(c1,
c2, c3)
= c1
1+c2
2+c3
3
Св-ва: 1) = + → (a1+b1; a2+b2; a3+b3);2) λ → λ (λa1, λa2, λa3)
3) || → a1/b1=a2/b2=a3/b3; a1 = λ b1; a2 = λ b2; a3 = λ b3
4) , , – компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составлен из координат, равен нулю.
5) , , – не компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составлен из координат, не равен нулю.
6)
если А (x1,
y1,
z1);
B
(x2,
y2,
z2)
→
(x2-x1;
y2-y1;
z2-z1)
7) А (x1, y1, z1); B (x2, y2, z2); C ϵ AB; AC/CB= λ → C (x3, y3, z3)
x3=
;
y3=
;
z3=
;
Док-во св-ва 4:
,
,
– компланарны тогда, когда
,
1,
1
- ЛЗВ→λ1
+
λ2
+
λ3
=
,
→ (λ1a1+λ2b1+λ3c1;
λ1a2+λ2b2+λ3c2; λ1a3+λ2b3+λ3c3)= 0,0,0
↔ то
=0
↔
=0
↑ однородная СЛУ
Док-во св-ва 6:
(О; 1; 2)
A(x1, y1); B(x2, y2)
=x1
1+y1
2;
=x2
1+y2
2
= + = - =x2 1+y2 2–(x1 1+y1 2)=(x2-x1) 1+(y2-y1) 2;
(x2-x1; y2-y1)
20. Преобразование прямоугольных координат.
(
O,
,
)
– «старая» (O,
,
)
«новая»
M(x,y);
=x
+y
M(x’,y’);
=x’
+y’
Найду
координаты O,
,
в старой СК; OO’=
a1
+a2
;
O’(a1,a2);
=
+
;
=
+
ϕ=
<(
,
);
=cosϕ;
=-sinϕ;
=cosϕ;
=sin
ϕ
= cosϕ
+sinϕ
;
=-sinϕ
+cosϕ
=OO’+O’M;
x +y =a1 + a2 +x’(cosϕ + sinϕ )+y’(-sinϕ + cosϕ )
(x-a1-x’cosϕ+y’sinϕ) +(y-a2-x’sinϕ-y’cosϕ) =
x=x’cosϕ-y’sinϕ+a1
y=x’sinϕ+y=cosϕ+a2
=
+
19. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.
Пусть на плоскости зафиксирована точка О и некоторый луч Оx. Данный набор определяют полярную СК на плоскости. О – полюс, Ох-полярный луч.
O
M=ρ;ϕ–угол
который образует луч ОМ с лучом Ох;
Угол ϕ–определён неоднозначно, а с точностью 2π;
М(ρ,ϕ)
Введём
прямоугольную СК следующим образом:
О-начало координат, Ох-ось абсцисс, Оу
– ордината. Пусть М(х,у)–в этой СК, = ρcos
ϕ,
y= ρsinϕ;
;
;
ρcos
ϕ
=1
П
усть
в некоторой плоскости π задана полярная
СК, построим луч ОZ
перпендикулярна плоскости π, где О-полюс.
M(ρ,ϕ,z)-цилиндрические координаты М.
Введём прямоуг. СК, О-нач. координат, Ох-ось абсцисс, Оу – ордината. Пусть в плоскости π задана полярная СК,ОZ -луч перпендикулярный плоскости π, где О-полюс.
П
остоим
проекцию М; M(r,
ϕ,
θ);
x= ρ cosϕ = r cosϕ sinθ;
y= ρ sinϕ = r sinϕ sinθ;
z=rcosθ.
21°. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения векторов.
Опр.
СПВ двух
ненулевых векторов
и
наз. число
равное
,
где β=˂(
,
)
=
·
Если один из векторов явл. Нулевым, то будем считать, что скалярное произведение равно нулю.
Св-ва:
1)
=
;
|
|=
Д-во:
=
=
|
=
|
=|
|
= ;
2) · = ·
3)
(λ
)
= λ(
4) ( + )= +
5) L ˂=˃ =0
22. Выражение скалярного произведения векторов, заданных прямоугольными координатами.
Пусть
задана прямоугольная СК (О,
,
,
)
причём
(а1,а2,а3),
= а1
+а2
+а3
;
(b1,b2,b3),
= b1
+b2
+b3
;
=(а1
+а2
+а3
)(b1
+b2
+b3
)
(перемножить скобки);
=|
||
|cos0=1;
=
=|
||
|cos
90=0;
=|
||
|cos0=1;
=
=0;
=1;
=
=0;
=a1b1+a2b2+a3b3;
|
|=
=
;
ϕ=<(
);
=(a1,
a2, a3);
(b1,
b2, b3);
cos
ϕ=
=
Расстояние между точками:
А(x1, y1, z1); B(x2, y2, z2);
ρ (A,B)=| |
(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
ρ(A,B)=