13. Теорема о разложении вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.
Теорема.
Пусть дана некоторая плоскость π и
векторы
,
(линейно
независимость векторов), тогда любой
вектор а в плоскости π можно представить
в виде линейной комбинации a=x*e1+y*e2
причём данное представление единственное.
Доказательство:
АА1||OE2,
AA2||OE1,
зн. OA2AA1-параллелограмм
=
+
.
OA1||OE1,
||OE1,
=x*
,
OA2||OE2,
||
,
=y*
,
=x*
+y*
.
Докажем, что такое разложение единственное:
Предположим, что это разложение не единственное.
=x1* +y1*
x*
+y*
+(-(x1*
+y1*
))=
т.к. , - линейно независимость векторов, то
x-x1=0, x=x1;
y-y1=0, y=y1;
14. Теорема о разложении вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам.
Теорема.
Пусть
,
- линейно
независимые векторы, тогда любой вектор
=x*
+y*
+z*
,
данное представление единственное.
15. Система координат на прямой. Координата вектора прямой. Координата точки прямой.
Рассмотрим некоторую прямую ∆ и векторы параллельные ей. Эти векторы будем откладывать только от точек лежащих на данной прямой, т.е. рассматриваем векторы прямой.
Опр.
СК на прямой наз. Набор (О;
),
где О – некоторая точка прямой;
прямой. О - начало координат,
– базисный вектор.
Опр.
Пусть (О;
)
– СК, тогда
=x*
и число x
- наз. координатой вектора
(
(x)).
Пусть А ϵ ∆,тогда наз. радиусом вектора точки А.
Опр. Пусть (О; ) – СК, А ϵ ∆, тогда координатой вектора А наз. координата радиус вектора точки А.
=-2* ;A=-2; | |=1(единичный вектор).
16°. Аффинная ск на плоскости. Координаты вектора на плоскости. Координаты точки на пл. Прямоугольная ск на пл.
Рассмотрим некоторую плоскость π и векторы компланарные ей, которые будем откладывать в этой плоскости.
Опр. Аффинная СК на плоскости наз. набор (О; 1; 2), где О – некоторая точка плоскости, 1 и 2 некомпланарные векторы (∆). О – наз. началом координат, ( 1, 2)- базис. (О; 1; 2) – аффинный репер.
рямые
ОЕ1 и ОЕ2 –наз осями координат, ОЕ1- ось
абсцисс, ОЕ2 – ординат.
Опр.
Пусть (О;
1;
2)
– аффинный репер. Любой
вектор можно представить =x* +y* , тогда
(x, y) – координаты вектора .
Опр.
Пусть (О;
1;
2)
– аффинный репер. A
некоторая точка, тогда координатами
точки А наз. координаты её радиус вектора
.
Опр.
Аффинная СК (О;
1;
2)
наз. прямоугольной, если угол м/д
равен 90.
17. Аффинная cк в пространстве. Координаты вектора в простр. Координаты точки в простр. Прямоугольная ск в простр.
Опр. Аффинная СК в пространстве наз.набор (О; 1; 2; 3), О – некоторая точка, 1; 2; 3 – некомпланарные векторы (ЛНЗВ). О-начало координат, 1; 2; 3-базисные вектора, 1; 2; 3 – базис.
O
E1,
OE2,
OE3
– оси координат; OE1
– абсцисс; OE2
– ординат; OE3
– аппликат.
Опр:
Пусть (О;
1;
2;
3)
– аффинный репер,
– некоторый вектор.
=x*
+y*
+z*
;
тогда (x,
y,
z)
– координаты вектора
.
Опр: Пусть (О; 1; 2; 3) – аффинный репер, A некоторая точка, тогда координаты радиус вектора т. А наз. координатами точки.
Опр. Аффинная СК (О; 1; 2; 3) наз. прямоугольной, если ; 1 L 2; 2 L 3; 1 L 3;
|
1|
=
2|
= |
3|
= 1