12. Понятие линейной зависимости векторов. Линейно независимые векторы. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

Говорят, что векторы , , , линейно зависимы, если существуют числа , , , , не все равные нулю и такие, что линейная комбинация равна нулевому элементу линейного пространства .

Если же равенство возможно только при условии , то векторы , , , называют линейно независимыми.

Лемма. Векторы , , , линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов

Теорема. Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.( a| | b  a,b - ЛЗВ )

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и коллинеарны, тогда они лежат на одной прямой, следовательно, => . Значит,

Достаточность. Пусть векторное произведение . Так как , , то значит , т.е. или , а это означает, что векторы и b коллинеарны.

Необходимое и достаточное условие компланарности трёх векторов

Теорема. Для того чтобы ненулевые векторы a,b и c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.(a₁, a₂, a₃ – комплонарны  a₁, a₂, a₃ - ЛЗВ)

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a,b,c компланарны. Тогда их можно поместить в одной плоскости, и вектор окажется перпендикулярным векторy a, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е. .

Достаточность. Пусть . Так как векторы ненулевые, то может быть:

1) , тогда , следовательно, векторы a,b,c можно поместить в одной плоскости, т.е. они компланарны;

2) , но => . Это значит, что вектор a лежит в одной плоскости с векторами b и c.

13°. Теорема о разложении вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Пусть дана π-плоскость , e₁ ,e₂ – ЛЗВ, тогда любой вектор а в плоскости π, можно представить в виде линейной комбинации:

a = xe₁ +ye₂ ,

причем данное представление единсивенное.

Пусть и - данные неколлинеарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор можно разложить по векторам и . Возможны два случая.

Вектор коллинеарен одному из векторов и , например вектору . В этом случае по лемме о коллинеарных векторах вектор можно представить в виде , где - некоторое число, и, следовательно, , т.е. вектор разложен по векторам и .

Вектор не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим какую-нибудь точку и отложим от нее векторы , , (рис.11). Через точку P проведем прямую, параллельную прямой , и обозначим через A₁ точку пересечения этой прямой с прямой OA. По правилу треугольника _{1 1} . Но векторы ₁ и ₁ коллинеарны соответственно векторам и , поэтому существуют числа и ? Такие, что ₁₌ ,A₁ . Следовательно, , т.е. вектор разложен по векторам и .

Д окажем теперь, что коэффициенты и разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением имеем место другое разложение х₁ у₁ . Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем ₁) ₁). Это равенство можно выполнять только в том случае, когда коэффиценты ₁ и ₁ равны нулю. В самом деле, если предложить, например, что х-х₁ 0, то из полученного равенства найдем , а значит, векторы и коллинеарны. Но это противоречие условию теоремы. Следовательно, х-х₁=0 и у-у₁=0, откуда х=х₁ и у=у₁. Это и означает, что коэффиценты разложения вектора определяются единственным образом.