8°. Обратная матрица.
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Для матрицы А существует обратная тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.
Обратная матрица вычисляется по формуле:
,
9. Правило Крамера решения систем линейных уравнений.
Система
трех линейных уравнений с тремя
неизвестными
имеет вид
(4)
Если Δ ≠ 0, то единственное решение системы (4) выражается формулами Крамера:
, (5)
где
- определители третьего порядка,
получаемые из определителя системы Δ
заменой первого, второго или третьего
столбца соответственно столбцом
свободных членов
.
Систему
(4) можно записать в матричной форме:
,
где
.
Тогда ее решение имеет вид
, (6)
если определитель матрицы А отличен от нуля.
10°. Направленный отрезок. Эквивалентные направленные отрезки. Понятие вектора. Угол между векторами. Коллинеарные и компланарные векторы.
Направленный
отрезок - отрезок оси Δ
,ограниченный точками Α,Β,
если указана, какая из этих точек является
точкой начала, а какая точкой конца.
Направленные
отрезки
и
называются сонаправленными, (обозначается
),
если они лежат на параллельных прямых
и направлены в одну сторону.
Длиной направленного отрезка называется длина отрезка АВ.
Два направленных отрезка и считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины.
Множество всех направленных отрезков, эквивалентных какому-нибудь одному, называется вектором.
Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между изображающими их направленными отрезками с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю, противоположно направленными — .Угол между нулевым вектором и каким-либо другим не определён.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.
11°. Операции над векторами. Свойства операции над векторами.
Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c - его диагональю
Сложение векторов в соответствии см. рисунком называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из следующего рисунка . Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.
Свойства сложения векторов.
1о.
.
2о.
.
3о.
,
т.к.
.
4о.
Для каждого вектора
вектор, называемый вектором, противоположным
,
такой, что
.
Если
,
то через
обозначим
.
Тогда
.
Произведением
вектора
на число
называется вектор
,
удовлетворяющий следующим условиям:
векторы
и
сонаправлены, если
и противоположно направлены, если
;
.
Произведение вектора на число 0 есть нулевой вектор.
Пишут:
.
Свойства умножения вектора на число.
и
.
и
вектора
.
и
вектора
.
вектора
.
Вычитание
векторов.
,
т.е.