5°. Определители второго и третьего порядков.

Определители второго порядка (матрицы второго порядка) наз. число, которое обознач. :

Определители матрицы третьего порядка наз. число, которое обознач. :

6. Определитель n-го порядка. Свойства определителей

Определителем (или детерминантом) n-го порядка называется число D, равное алгебраической сумме n! членов, составленных определенным образом из элементов определителя. Рассмотрим определитель n-го порядка:

.

Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца и умноженный на .

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Определитель n-го порядка может быть вычислен с помощью разложения по элементам i-й строки (или j-го столбца):

(разложение определителя по элементам i-й строки),

(разложение определителя по элементам j-го столбца).

Свойства определителей п-го порядка:

1⁰. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.

2⁰. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

3⁰. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4⁰. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

5⁰. Если все элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

6⁰. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

7⁰. Если каждый элемент п-го столбца (п-й строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в п-м столбце (п-й строке) имеет первые из названных слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

7. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

Определителем (или детерминантом) n-го порядка называется число D, равное алгебраической сумме n членов, составленных определенным образом из элементов определителя. Рассмотрим определитель n-го порядка:

.

Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца и умноженный на .

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Теорема Лаплпса:

Если в определителе зафиксировать k-строк, то определитель равен сумме всевозможных произведений миноров k-го порядка, стоящих в k-тых строках на их алгебраич. Дополнения.