86. Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

ОПР Пусть f(x) g(x) с действительными коэффициентами, g(x)!=0, тогда выражение вида , наз рациональной дробью.

Опр. Пусть рациональная дробь наз. Правильной если deg f(x)<deg g(x).

Теорема. Всякую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Док-во:

ТЕОРЕМА

Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших

Д-во:

. – прав-я дробь . НОД (g₁(x),g₂(x))=1

1= (x)g₁(x)+ (x)g₂(x) |* f(x)

F(x) = (x) g₁(x) f(x) + (x) g₂(x) f(x)|:g₁(x)*g₂(x)

. = +

Теорема. Всякую простейшую дробь знаменатель кот. Стоит степень не приводимого многочлена. можно представить в виде суммы, k- простейших дробей в знаменателе, кот. Стоят p(x), p²(x)….p^k(x). , deg f^k(x)<deg p(x)

87°. Многочлены с рациональными коэфициентами. Нахождение корней многочленов с рациональными коэфициентами.

пусть f(x) Q[x](многочлен на поле).f(x) = a_nxⁿ+a_n-1xⁿ⁺¹+…+a₁x+a₀

a_i Q , i=0;n

пусть f(x) Q[x] , q=НОД (a_n, … , a_n), g(x)=q * f(x) Z[x]

всякий корень f(x) явл корнем g(x) и наоборот.

ТЕОРЕМА

Пусть f(x) Z[x]. Если – рациональный корень многочлена, то а₀ p, a_n q

Пример Нахождения корней многочленов с рациональными коэфициентами

f(x) = 2x³ + 3x² + 3x + 1

	2	3	3	1
1	2	5	8	9
-1/2	2	2	2	0

p = 1, -1

q = 1, -1, 2, -2

. : 1, -1, ½,- ½

X= 1 – не корень

Х= - ½ - корень

2x³ + 3x² + 3x + 1 = (x+1/2)*(2x² + 2x +2)

Замечание. Если число не целое то это НЕ корень!.

88. Неприводимые многочлены над полем рациональных чисел. Критерий Эйзенштейна.

ТЕОРЕМА(Критерий Эйзенштейна)

Пусть f(x) Z[x]. Если p – простое число такое , что

1)Старший коэф-т (a_n ) не делится на p

2)a_n-1 , a_n-1 , …. , a₁ , a₀ p

3)a₀ не делится на p²

То f(x) – не приводим на множестве рациональных чисел ( не имеет рациональных корней)

Д-во:

Докажем методом от противного. Пусть для многочлена выполнены условия 1,2,3, но f(x) – приводим

f(x) = (b_kx^k + b_k-1x^k-1 + … + b₀)(c_mx^m + c_m-1x^m-1 + … + c₀)

Будем считать, что b_i , c_j Z

a₀ = b₀c₀

a₀ p, зн. b₀ p или с₀ p

b₀ p b₁ , b₂ , … , b_k p

a_n = b_k*c_m a_n p , получим противоречие, чего быть не может

a₁ = b₀c₁ + b₁c₀ b₁ p

p p p

a₂ = b₀c₂ + b₁c₁ b₂ p

p p p

и т.д.