76⁰.Построение поля комплексных чисел.Алгебраическая форма комплексного числа.
Пусть z1=a1+b1i, z2=a2+b2i принадлежат С, z1=z2,если a1=a2,b1=b2.
Опр.
Суммой двух элементов z1
и z2єС
наз.эл.
.
Опр.Произведением
и
н.
.
Теорема. Множество С={a+bi|a,bєR} с операциями сложения и умн. явл-ся полем.Зам:каждый ненулевой элемент множества обратим.
Опр.
Пусть z=a+bi
є C
наз.комплексно-сопряж.
Опр. Пусть z=a+bi є C; a=Rez-действит. часть компл.числа;b=Imz-мнимая часть; a+0i – действительные числа; 0+bi – мнимые числа.
77°.Тригонометрическая и экспоненциальная форма записи комплексного числа.Действия над компл. Числами в триг.И экспон.Форме записи.
Рассм.С={a+bi|a,bєR} z=a+bi.Каждому числу z=a+bi можно поставить в соответствие точку с координатами (a,b)в прямоугольной CK.и наоборот –это взаимно однозначное соответствие.
-
тригонометрическая форма записи
компл.числа.
– экспоненциальная форма.
=-1.
=
.
.
78°.Возведение в степень и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.
Опр.z0=1;z1=z;zn=z*z*z…
Опр.
Z-n=
. Формула Муавра:
;
Опр.Корнем
n-ой
степени из числа z
наз.число w
такое, что wn=z;Если
z=0,то
=0;если
z
0,то
z=a+bi=r(cosx
+isinx);
r(cosx+isinx)=r0n(cosnx0+isinnx0);
r0=
;
w=
(
+i
)
– корень n-ой
степени.
(
+i
)
79.Корни n-ой степени из единицы
рассмотрим
z=1+0i
.
1+0i=r(cos ϕ +isin ϕ)
1+0i=1(cos 0 + i sin 0)
r=
r=
cos
ϕ=
sin ϕ =
ϕ=0;
=
=
(cos
+ I
)=1(
cos
+ i sin
),
k
0;n-1.
= cos + I sin
Теорема.Множество всех комплексных корней n-ой степени из единицы образуют абелевую группу относительно умножения ( ,Ƹ0 ,Ƹ1 ,Ƹ2 ,…, Ƹn )
Ƹni=1 i=0;n-1
Ƹ0=Ƹ0
Ƹ1=Ƹ1
Ƹn=Ƹn
Ƹ – произвольный корень
Ƹ
= cos
+ i
sin
80. Кольцо многочлена от одной переменной
Рассмотрим некоторое F-коммутативное кольцо с единицей.
F – Z,Q,C,R
ОПР. Многочленом(полиноном) от переменной х заданным над кольцом F, наз. выражение вида
a0+a1x+a2x2+…+anxn , ai F; i = 0;n, n – целое положительное
f(x)= a0+a1x+a2x2+…+anxn
Опр. если an !=0, an+1 = 0, an+2 = 0, то n = deg f(x), an – старший коэ-т, a0 – свободный коэ-т.
f(x)=0+0x+…+0xn – нулевой многочлен он не имеет степени
F[x] – множество всевозможных многочл.над кольцом F
Z[x] – целочисленный многочлен
На множестве F[x] введем 2 операции, умножение и сложение
F0(x), g(x) F[x]
f(x)= a0+a1x+ …+anxn
g(x)= b0+b1x +…+bkxk
f(x)+g(x) = C0+C1x+ …+Csxs , где s – максимум из n и k (C0=a0+b0,C1=a1+b1 …Ci=ai+bi)
f(x)*g(x)=d0+d1x+…+dmxm,
где m
- сумма k
и n;
di
=
jbt
операция сложения – приведение подобных
операция умножения – раскрытие скобок, прив. подобных
deg(f(x) + g(x)) ≤ max {deg f(x), deg g(x)}
deg (f(x) * g(x))≤ deg f(x) * deg g(x)
ТЕОРЕМА. Множество F[x] является коммутативным кольцом с единицей относительно операции сложения и умножения многочленов
81°. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов.
Теорема.пусть f(x) и g(x) – некоторые многочлены, тогда существуют многочлены q(x) и r(x) F[x], что f(x) = g(x)*q(x)+ r(x), r(x) степень меньше чем g(x) или r(x) = 0 данное представление единственно
Док-во: 1) deg f(x)<deg f(x), то f(x)=g(x)*0+f(x) 2) deg f(x)≥deg g(x)
f(x)=f(x)--
если m<n
если
k<m,
то f(x)=
если
k≥m,
то
,
где s<x
продолжая аналогично. Мы найдем fi (x) степень которого меньше fi(x)=r(x).
Пусть
f(x)=g(x)*q(x)+r(x),
f1(x)=g(x)*
;
f(x)-f1(x)=g(x)(
q(x)-
)+(
r(x)-
)
g(x)( q(x)- )= -r(x)+