71°. Алгебраическая операция. Свойства алгебраических операций.

Свойства алг.опер.Пусть X-непустое множество. Говорят,что на множестве Х задана алг. опер., если указано правило, по которому двум любым элементам этого множества ставится в соответствие вполне определённый элемент этого множества. Элем.nєX наз. нейтральным, если n◦a=a◦n=a.

Алг.опер. наз. ассоциативной, если a◦(b◦c)=(a◦b)◦c.Пусть на Х задана алг.о. Элем. aєX наз.симметричным к bєX, если a◦b=b◦a=n.Алг. о. наз.коммутативной,если a◦b=b◦a.

Свойства:

1)если существует n.,то он единственный;

2)симметричный элем- единственный.

72°.Определение группы.Простейшие свойства групп.

Непустое множество G наз. группой,если на нём задана алг. опер.,удовл.условиям:G1)◦ -ассоц-на a◦(b◦c)=( a◦b)◦c;G2)сущ-ет nєG; n◦a= a◦n =a;G3)для люб. a◦G сущ. b симметр.эл. a◦b=b◦a=n.G4)Группа наз. коммутата тивной (абелевой), если ◦ -коммут. опер., т.е. a◦b=b◦a.

Свойства:1)n-единств-й;2)для люб. a,bєG уравнения ax=b,ya=b – им.единственные решения;

3)обратным элем к произв.(ab)^-1=b^-1a^-1.

Группа, на которой задана опер. «сложения»-аддитивная, «умножения»-мультипликативная.

73°. Определение кольца. Простейшие свойства колец.

Непустое множество К наз.кольцом,если на нём заданы 2 алг. оп. «+», «*»,для которых выполняются аксиомы:К1)К явл.абелевой группой относит. «+»(проверить G1,G2,G3,G4) К2)опер «*умн.»-ассоц-на, т.е. a*(b*c)=(a*b)*c;К3)умнож.дистрибутивно отностит.оп. сложения,т.е. a*(b+c)=a*b+a*c.

Опр: кольцо назыв. коммутативным кольцом, если опер. умн.коммут-на К4)a*b=b*a.

Опр: коль цо К наз.кольцом с единицей,если К5) существует nєК n*a=a*n=a.

Свойства:

1) кольцо явл.коммутат.гр., значит для него вып-ся все св-ва групп 2) в кольце можно ввести опер. вычитания;

3) если a*0=0*a=0; a*b=0; a 0, b 0-делители нуля;

4) если а не является делителем 0, то a*b=a*c→ b=c;

5) (-a)*b=a*(-b)=-(a*b);

6) if K-кольцо с 1,то оно единственно;

7) К(кольцо с обратн. эл.)- группа отн.умнож.

74°.Определение поля.Простейшие свойства поля.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором все элементы кроме 0 обратимы наз. полем. Вып. усл. (К1-К5).

Свойства:

1) для полей верны все св-ва колец К1) К явл.абелевой группой относит. «+»(проверить G1,G2,G3,G4) К2) опер «*умн.»-ассоц-на, т.е. a*(b*c)=(a*b)*c; К3) умнож. дистрибутивно отностит. оп. сложения, т.е. a*(b+c)=a*b+a*c.

Опр: кольцо назыв. коммутативным кольцом, если опер. умн.коммут-на К4)a*b=b*a.Опр: кольцо К наз. кольцом с единицей,если К5) существует nєК n*a=a*n=a.;

2) в поле нет делитителей 0; 3)ax=b-единств.реш.,если aǂ0.

75.Изоморфизмы групп, колец.

Группы G1,G2 наз.изоморфными,если существует взаимооднозначное соответствие(биекция)f:G1→G2; f(a◦b)=f(a)*f(b)

f-изоморфизм.

Опр.Кольцо К1 и К2 наз. изоморфными, если сущ. биекция f:K1→K2; f(a+b)=f(a)+f(b);f(a*b)=f(a)*f(b) C1 C2 – изоморфно

Свойства изом.группы:

1)G G(рефл.);

2)G F→F G(симм.);

3)G F,F H→ G H.

Множество групп разбивается на взаимно непересекающиеся классы изоморфных групп.