1°. Понятие матрицы. Элементарные преобразования матрицы.

Опр.Под матрицей понимают совокупность строк одинаковой длины, представленных в виде таблицы.

Опр.Горизонтальные ряды чисел матрицы наз. ее строками, а вертикальные – столбцами.

Опр.Числа а_ij наз. эл-тами матрицы. Матрицу имеющую m строк и n столбцов, назыв. m × n – матрицей. Если m = n, то матрица назыв. Квадратной порядка n.

Пусть заданы две матрицы одинаковых размеров m × n: А=( а_ij ) и В=(b_ij). Их суммой наз. m × n – матрица С=А+В=(с_ij) такая, что с_{ij =}а_ij + b_ij , i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.

Опр.Произведением αА матрицы А на число α получается умножением всех эл-тов матрицы А на α.

Пусть задана m × n – матрица А= (а_ij) n × p – матрица В=(b_ik). Произведением этих матриц наз. m × p – матрица С=АВ=(с_ik) , эл-ты которой задаются формулой:

с_ik= а_i1 b_1k + а_i2 b_2k +…+ а_in b_nk , i=1,2,…, m; k=1,2,…, p.

Пусть А – произвольная матрица. А^Т , полученная из матрицы А заменой столбцов строками с теми же номерами, транспонированной по отношению к А . Если для матриц А и В определено произведение АВ, то (АВ)^Т = В^ТА^Т .

2. Ступенчатая матрица. Теорема о приведении матрицы к ступенчатой матрице.

Опр. Матрица А наз. ступенчатой если выполнены условия:

Если i-тая строка нулевая, i+1 – нулевая.

Если лидеры строк i и i+1 находятся в столбцах k и l, то k < l .

Всякая нулевая матрица явл. ступенчатой.

Если в ступенчатой матрице удалить или дописать нулевые строки то она остается ступенчатой.

Теорема. Пусть в матрице А, а_ik ≠ 0, тогда если к j-той строке прибавить i-тую умн. (- ), то в полученной матрице В эл-т b_jk = 0.

Теорема. Всякую матрицу можно привести к ступенчатой матрице за конечное число элементарных преобразований.

Д-во:

Если А=0, то А – ступенчатая.

Пусть А ≠ 0 , тогда матрица содержит хотя-бы одну строку с ненулевым эл-том. (лидер ≠ 0 )

Если таких стр. несколько, то выберем ту стр. у которой лидер имеет меньший порядковый номер.

Зафиксируем строку поменяем с первой.

Поступаем аналогично для строк начиная со 2-ой стр. и т.д.

3°. Системы линейных уравнений (слу). Решение слу. Эквивалентные слу. Однородные слу.

СЛУ с m-уравнениями и n-переменными наз. совокупность m-уравнений с n-неизвестными.

(1)

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы; b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Решением СЛУ (1) наз. Строка (α₁, …, α₂) которая является решением каждого из n-ур-ний. Решить СЛУ – значит найти все решения или доказать что их нет.

Две СЛУ наз. эквивалентными если множество их решений совпадает.

4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Одним из наиболее универсальных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Процесс решения методом Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду (в частности, к треугольному) виду.

Для исходной системы т алгебраических уравнений n неизвестными

система в ступенчатом виде может быть представлена следующим образом:

где , , . Коэффициенты называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) происходит последовательное нахождение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Рассмотрим данный метод на примере решения системы (4). Будем считать, что элемент (иначе первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при ). Используя элементарные преобразования системы (4), исключим неизвестное во всех уравнениях, кроме первого. Для этого умножим обе части первого уравнения на и прибавим соответственно ко второму уравнению системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и прибавим соответственно к третьему уравнению системы. Получим эквивалентную систему

Здесь , ( ) – новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после выполнения первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом , исключим неизвестное из третьего уравнения системы. На этом шаге выполнение прямого хода заканчивается.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. В последнем уравнении выражаем и подставляем во второе уравнение найденное значение. Из второго уравнения находим и подставляем значения и в первое уравнение, из которого находим значение .