15.Падстаноўкі.Цотныя і няцотныя

падстаноўкі.Здабытак падстановак.

Няхай М:N –адвольнае мноства,

няхай зададзена адлюстраванне

N,гэта правіла па якому

кожнаму элементу х з мноства

k ставіцца ў адпаведнасць кожнаму

x

f-

.

Любая біекцыя першых n-нат.лікаў

у сябе наз. Падстаноўкай n –ступеняў.

Падстанову наз. Цотнай,калі агульны

лік інверсій у двух яе радках цотны.

Падстанову наз. Няцотнай,калі агульны

лік інверсій у двух яе радках няцотны.

16.Вызначальнік n-парадку.

Разгледзім квадратную матрыцу парадку n

А

Вызначальнікам n-га парадку матрыцы А

парадку n наз. Лік,роўны алгебраічнай суме n!

Членаў.якія з’яўляюцца усемагчымымі здабыткамі n-элементамі матрыцы ўзятых па аднаму з кожнага

радка і кожнага слупка,прычым член бярэцца

са знакам ”+”,калі наборы першых і другіх

індэксаў яго сумножнікаў утвараюць цотную

падстаноўку і са знакам “-“,калі няцотную

Назавём транспасаваннем

вызначальніка такое

пераутварэнне яго элементаў,пры якім мяняецца

месцам ,пры , застаецца на месцы пры

₌

17.Уласцівасці вызначальніка.

Вызначальнік не мяняецца пры

транспанаванні

Доказ: адвольны член вызначальніка

задаецца па фор-ле ,дзе другія індэксы утвараюць перастаноўку лікаў

ад 1 да n,але ўсе множнікі

члена выбіраецца з

разных радкоў і розных слупкоў,а значыць член

вызначальніка будзе і

членам транспасавання і наадварот,

таму вызначальнікі

і =

Складаюцца з адных і тых жа членаў

.Знак члена у

вызначальніка 1,2,3,…,n вызначаецца

цотнасцю падстаноўкай , а ў вызн.

Транспасаванай цотнасцю

Член вызначальніка і

член транспасавання маюць адну

і тую ж цотнасць.

Вынік: Любы вызн. Даказаны для

радкоў матрыцы вызначэння

выконваецца і для слупкоў і наадварот.

.Калі адзін з радкоў

вызначальніка

складаецца з нуллёў,то і сам вызначальнік роўны 0

.

Доказ: Няхай усе элементы j-ага

радка вызначальніка = 0.У кожны

член вызначальніка павінен увайсці

множыцелем адзін з j-ага радка,па-гэтаму ў нашым выпадку усе члены вызначальніка раўны нулю.

.Калі адзін вызначальнік атрыманы з

другога. Перастаноўкай двух радкоў,то

усе члены вызначальніка будуць і членамі другога, але з супрацілеглымі знакамі.

.Вызначальнік.які мае

два роўных радкі роўны 0.

Доказ: ,Пасля перастаноўкі

гэтых радкоў па уласцівасці (3) мяняе

знак на супрацілеглы

.

.Калі усе элементы якога-небудзь радка вызначальніка дамножыць на

некаторы лік k,то і сам вызначальнік

дамнажаецца на лік k.

Доказ: Няхай на k памножаны усе

элементы i-ага радка.Кожны член

вызначальніка мае роўна адзін элемент з i-ага радка, па-гэтаму

усякі член будзе мець множіцель k,то есць сам вызначальнік памнажаецца на k.

.Вызначальнік у якога два радкі прапарцыянальныя роўны нулю.

Доказ: На самой справе,няхай элементы

j-ага радка вызначальніка атлічныя ад

саатветствуюўых элементаў i-ага радка(i j)

адным і тым жа множнікам k.Вынося гэты

агульны множнік k з j-ага радка за знак

вызначальніка,мы атрымліваем вызначальнік з двумя аднолькавым і радкамі,раўны нулю па уласцівасці 4.

Калі усе элементы радка

вызначальніка, прадстаўлены у такім выглядзе = , то даны

вызначальнік роўны суме двух

вызначальнікаў, у якім усе радкі ,

акрамя i-ага радка тыя ж, што і ў

дадзеным вызначальніку, а ты

радок у адным складаецца з

элементаў ў другім з элементаў .

.Калі некаторы радок вызначальніка

роўны лінейнай камбінацыі яго

іншыхрадкоўвызначальник роўны нулю.

9 .Вызначальнік не змяняецца,калі да

элементаў аднаго з яго радкоў дадаць адпаведныя элементы другога радка дамножанага на адзін і той жа лік.

Доказ: Няхай да i-ага радка вызначальніка

дадаецца j-ты радок,дамножаны на лік k, тады элементы i-ага радка будуць мець

выгляд:

На аснове уласцівасці 7 гэты вызначальнік р оўны суме двух вызначальнікаў

, першы з якіх роўны d,а другі будзе

мець прапарцыянальныя радкі і значыць роўны нулю.

18..Мінор і алгебраічнае дапаўненне

элемента вызначальніка.

Разгледзем вызначальнік n-га парадку:

D=

(1)Мінорам( элемента

вызначальніка (1) наз. Вызначальнік

n-ага парадку,які атрымліваецца з

вызначальніка d выкрэсліванние ,

-ага радка і j-ага слупка.

Алгебраічны дапаўненнем элемента

a,I,j вызначальніка (1) наз. Лік

Алгебраічным дапаўненнем

мінора наз. Яго дадатковы

мінор

дзе s=i_1+i_2+⋯+i_k+j_1+j_2+⋯+j_k

=

Элементы вызначальника d.якія не

уваходзяць у мінор ,дзе k ,

утвараюць матрыцу парадку n-k,

вызначальнік гэтай матрыцы наз.

Дататковым мінорам да мінора .

Элементы вызначальніка ,Якія

стаяць на перасячэнні гэтых k радкоў

і k слупкоў утвараюць матрыцу.

вызначальнік якой наз. Мінорам

k –ага парадку( )