1.Прадмет алгебры

Алгебра як геаметрыя і арыфметыка самая

дрэйняя частка мат-тыкі.Алгебра вазнікла пад уплывам грамацтва у выніку пошуку

рашэнняў,аднатыпных арыфметычных задач.

У больш сучасным разуменні алгебра можа

быць вызначана,як навука аб сіс-мах аб’ектаў

рознай прыроды на якіх

зададзены апперацыі па сваім

уласчівасцям блізкія да складання і

множання лікаў,такія аперацыі наз.

Алгебраічнымі.

Уласцівасці аперацый:

1)(c+d)f=cf+df-дыстрыбутыўнасці

2)(c+d)+f=c+(d+f)-асацыятыўнасці

3)cd=dc-камутатыўнасці

Алгебра-раздзел мат-кі,які фармулюе

агульныя паняцці і метады для усёй мат-кі.

2.Дзялімасць цэлых лікаў

.Уласцівасці дзялімасці

Няхай

што a⋮b,калі∃q∈Z,што a=bq

Уласцівасці:

1)(

Доказ: Так як

,b=cp,

P

,

адсюль

2)Калі( )⇨

Доказ: a=cq⇨ba=b(cq)=

c(bq)=cp,p .

3)( ⇨(a

3.Тэарэма аб дзяленні з астачай

Т-ма:Для любых a,b

стаўленне ліку a=bq+r,r

0≤r<b

Доказ: bn n=0,

bq ,

a-bq=r a=bq+r,

!)Няхай ⇨0 ,

bq+r= ,

b(

0 ,

( b q= ⇨

4.Над(нсд).Алгарытм Эўкліда.

i=1,2,3,…,m

ці i= пры чым не ўсе нулі, тады любы цэлы лік d,які дзеліць

кожны з .d наз. Іх агульным

дзельнікам с-мы лікаў .

НАД(

Алгарытм Эўкліда зводзіцца да пошуку

b і r,дзе r .Няхай a

1)Калі ⇨,што НАД( ;2)калі

a=b b (2)

b=

= (1) n+1

…

Паслядоўнасць (1) заканчваецца,

калі некаторая астача мае адныя і т

ыя ж агульныя дзельнікі,тады

НАД(

5.Тэарэма аб прадстаўленні двух цэлых лікаў праз іх над(нсд).

Т-ма: НАД двух цэлых лікаў a і b

роўны апошняй,не роўнай нулю астач у

алгарытме Эўкліда1

Заўвага:Пошук НАД некалькіх лікаў зводзіцца да пошуку НАД двух лікаў з

дапамогай наступнай формулы:

НАД(a,b,c)=НАД(НАД(a,b),c)

Т-ма2: Калі =d, d ,то

6.Нак двух цэлых лікаў.Вывад

формулы для яго вылічэння.

НАК(a,b) наз. Наіменьшы з

цэлых лікаў,які дзеліцца і на a і на b.

Лікі

наз. узаема простымі,калі

НАД(

Т-ма: Няхай а,в,с дабытак

А

Доказ: так як НАД(а,с)=1,то па т-ме2

1=; m,n .Дамножым на в в= ваm+cnв ,па умове т-мы ав

НАК( ), a,b , d=НАД( ),

тады ,дзе і -узаема

простыя;n=

n=

.

n= , n= ⇨ ,

і ,то згодна т-мы

,то есць (1)

Ф-ла (1) дазваляе найсці усе агульныя

кратныя для ; НАК( =

НАК( (1)

Ф-ла (1) задае выгляд усіх цэлых лікаў,

які дзеліцца на .

НАК( )= = =

7.Простыя лікі.Асноўныя тэарэмы арыфметыкі.

_{Цэлы лик а наз. простым,калі}

_{мае толькі два дзельніка,у адваротным выпадку}

_{наз. Складаным.}

_{Асноўная тэарэма арыфметыкі а ,}

_{можна раскласці на здабытак простых лікаў,пры чым}

_{раскладанне –адназначнае с дакладнасцю да}

_{парадку множніка.}

_{Доказ: )1)a=a; 2)a= ( -/}

_{складаны) a= ; a= ,}

_,i=

_{!) a= , a= n ,}

_{\ як левая частка ⋮a_1,то і правая палавіна ⋮a_1}

_{a_1=с_1}

₁₌

_n=k