Моделирование тенденции временного ряда

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда времени. Такую функцию называют трендом. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного рада.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее описания можно использовать различные виды функций. Для построения трендов применяют разные следующие функции. Например:

линейный тренд: у = a + b∙t;

гипербола: у = а + b/t;

экспоненциальный тренд: у = e ^a+b·t ;

тренд в форме степенной функции: y= a∙t^b;

парабола второго и более высоких порядков

y = а + b₁· t+ b₂· t² + ... + b_m· t^m.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t =1,2,..., n, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда у_t,. Для нелинейныx трендов предварительно проводят стандартную процедуру их ли­неаризации.

Моделироание сезонных колебаний временного ряда

Самый простой подход к анализу и сезонной компоненты – расчет ее значений методом скользящей средней и построение аддитивной и мультипликативной модели временного ряда.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний:

• если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов;

• если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сво­дится к расчету значений T, S и Е для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги,

Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

1. Расчет значений сезонной компоненты S.

2. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+ Е) в аддитивной или (Т∙Е) в мультипликативной модели.

3. Аналитическое выравнивание уровней (Т+ Е) или (Т∙Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

4. Расчет полученных по модели значений (Т+ Е) или (Т∙Е).

5. Расчет абсолютных и (или) относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Подробнее методику построения одной из моделей рассмотрим на примере.

Построение аддитивной модели временного ряда.

Пример 4. Возьмем данным об объеме потребления электроэнергии жителями района за последние четыре года, представленным в табл. 8.2.1.

В примере 3 было доказано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4. Объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период времени (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II и III кварталы). По графику этого ряда (рис. 8.2.1) можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это доказывает, что данный временной ряд можно представить аддитивной моделью. Рассчитаем ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

Во-первых, просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 10.1.1);

Во-вторых, разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл.10.1.1). Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

В-третьих, приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 10.1.1).

Таблица 10.1.1

Расчет сезонной компоненты в аддитивной модели

№ квартала. t	Потребление электроэнергии, Уt	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	6
2	4,4	24,4	6,1
3	5	25,6	6,4	6,25	-1,25
4	9	26	6,5	6,45	2,55
5	7,2	27	6,75	6,625	0,575
6	4,8	28	7	6,875	-2,075
7	6	28,8	7,2	7,1	-1,1
8	10	29,6	7,4	7,3	2,7
9	8	30	7,5	7,45	0,55
10	5,6	31	7,75	7,625	-2,025
11	6,4	32	8	7,875	-1,475
12	11	33	8,25	8,125	2,875
13	9	33,6	8,4	8,325	0,675
14	6,6	33,4	8,35	8,375	-1,775
15	7
16	10,8

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 10.1.1). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 10.1.2). Для это найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезоной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 10.1.2

Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатели	Год	№ квартала, i
		I	II	III	IV
	1 2 3 4	- 0,575 0,55, 0,675	- -2,075 -2,025 -1,775	-1,250 -1,100 -1,475 -	2,550 2,700 2,875 -
Итого за i-й квартал (за все годы)		1,800	-5,875	-3,825	8,125
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала,		0,600	-1,958	-1,275	2,708
Скорректированная сезонная компонента, Si		0,581	-1,977	-1,294	2,690

Для данной модели имеем:

0,6-1,958-1,275+2,708=0,075

Так как сумма всех сезонных компонент не равна нулю, то определяем корректирующий коэффицент:

Скорректированные значения сезонной компоненты найдем как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k.

S_i = – k

Необходимо опять проверить равенство нулю суммы значений скорректированной сезонной компоненты:

0,581-1,977-1,294+2,690=0,0

Тем самым, мы получили следующие значений сезонной компоненты для каждого квартала:

I квартал: S₁ =0,581

II квартал: S₂ =-1,977

III квартал: S₃ =-1,294

IV квартал: S₄ =2,690

Полученные значения занесем в табл. 10.1.2 в последнюю строчку для соответствующих кварталов каждого года.

Шаг 3. Устраним влияние сезонной компоненты из значений временного ряда потребления электроэнергии. Для этого из каждого уровня исходного временного ряда вычтем значение сезонной компоненты. Получим величины Т + Е = Y— S (столб. 4 табл. 10.1.3). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 10.1.3

Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

t	yt	Si	Т + Е = yt — Si	T	T+S	E= yt — (T+S)	E2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	6	0,581	5,419	5,902	6,483	-0,483	0,233
2	4,4	-1,977	6,377	6,088	4,111	0,289	0,083
3	5	-1,294	6,294	6,275	4,981	0,019	0,000
4	9	2,69	6,31	6,461	9,151	-0,151	0,023
5	7,2	0,581	6,619	6,648	7,229	-0,029	0,001
6	4,8	-1,977	6,777	6,834	4,857	-0,057	0,003
7	6	-1,294	7,294	7,020	5,726	0,274	0,075
8	10	2,69	7,31	7,207	9,897	0,103	0,011
9	8	0,581	7,419	7,393	7,974	0,026	0,001
10	5,6	-1,977	7,577	7,580	5,603	-0,003	0,000
11	6,4	-1,294	7,694	7,766	6,472	-0,072	0,005
12	11	2,69	8,31	7,952	10,642	0,358	0,128
13	9	0,581	8,419	8,139	8,720	0,280	0,078
14	6,6	-1,977	8,577	8,325	6,348	0,252	0,063
15	7	-1,294	8,294	8,512	7,218	-0,218	0,047
16	10,8	2,69	8,11	8,698	11,388	-0,588	0,346

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+ Е) с помощью линейного тренда.

Таким образом, получаем следующий линейный тренд:

Т= 5,715 + 0,186·t.

Подставляя в это уравнение значения t = 1, ..., 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 табл.10.1.3) График уравнения тренда приведен на рис. 10.1.1

Рис. 10.1.1. Потребление электроэнергии жителями региона (фактические, выравненные и полученные по аддитивной модели)

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл.10.1.3). Графически значения (T+S) представлены на рис. 10.1.1.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле

E=Y-(T + S). (10.1)

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 табл. 10.1.3

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59, эта величина составляет чуть более 1,5%:

(1-1,10/71,59)-100= 1,536.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временного ряда потребле­ния электроэнергии за последние 16 кварталов.

Пусть необходимо сделать прогноз потребления электроэнергии жителями района на первое полугодие следующего года.

Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент.

Для определения трендовой компоненты будем использовать уравнение тренда: Т= 5,715 + 0,186·t.

Тогда:

Т₁₇= 5,715 + 0,186 · 17=8,877

Т₁₈= 5,715 + 0,186 · 18=9,063

Значения сезонной компоненты равны: S₁ =0,581 (I квартал); S₂ =-1,977 (II квартал).

Получаем:

Y₁₇ = Т₁₇ + S₁=8,877+0,581=9,458

Y₁₈ = Т₁₈ + S₂=9,063-1,977=7,086

Прогноз объема потребления электроэнергии на первое полугодие следующего года составит: 9,458+7,086=16,544

Построение мультипликативной модели отличается от построения аддитивной модели следующим:

Шаг 1. Полностью совпадает с методикой аддитивной модели временного ряда.

Шаг 2. Оценки сезонной компоненты находятся как частное от деления фактических уровней временного ряда на центрированные скользящие средние. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. Корректирующий коэффициент находится как частное от деления числа периодов в цикле на сумму значений сезонной компоненты. Скорректированные значения сезонной компоненты определяются как произведение средней оценки сезонной компоненты на корректирующий коэффициент.

Шаг 3. Необходимо разделить каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым получатся величины Т ·Е = Y: S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Трендовую компоненту Т в мультипликативной модели определяется как и в аддитивной, но использовать необходимо уровни (Т ·Е).

Шаг 5. Значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели находятся как произведение уровней Т на значения сезонной компоненты S.

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:

E=Y:(T ∙S). (10.2)

Выявление и устранение сезонного эффекта (десезонализация уровней ряда) используются в двух направлениях. Во-первых, воздействие сезонных колебаний следует устранять на этапе предварительной обработки исходных данных при изучении взаимосвязи нескольких временных рядов. Поэтому в российских и международных статистических сборниках часто публикуются данные, в которых устранено влияние сезонной компоненты (если это помесячная или поквартальная статистика), например показатели объемов производства в отдельных отраслях промышленности, уровни безработицы и т.д. Во-вторых, это анализ структуры одномерных временных рядов с целью прогнозирования уровней ряда в будущие моменты времени.