§ 1.4. Теория винтовой пары

Зависимость между моментом, приложенным к гайке, и осевой силой винта. Если винт нагружен осевой силой F (рис. 1.13), то для завинчивания гайки к ключу необходимо приложить момент Т_ЗАВ, а к стержню винта — реактивный момент Т_р, который удерживает стержень от вращения. При этом можно записать

(1.3)

где Т_Т — момент сил трения на опорном торце гайки; Т_р — момент сил в резьбе. Равенство (1.3), так же как и последующие зависимости, справедливо для любых винтовых пар болтов, винтов, шпилек и винтовых механизмов.

Не допуская существенной по­грешности, принимают приведен­ный радиус сил трения на опорном торце гайки равным среднему радиусу этого торца или D_СР/2. При этом

T_Т = Ff(D_СР/2), (1.4)

где D_СР = (D_l + d_ОТВ)/2; D_l — наружный диаметр опорного торца гайки; d_ОТВ —диаметр отверстия под винт; f—коэффициент трения на торце гайки.

Момент сил в резьбе определим, рассматривая гайку как ползун, поднимающийся по виткам резьбы, как по наклонной плоскости (рис. 1.14, а). По известной теореме механики, учи­тывающей силы трения, ползун находится в равновесии, если равнодействующая F_n системы внешних сил отклонена от нормали n — n на угол трения ϕ. В нашем случае внешними являются осевая сила F и окружная сила F_t = 2T_p/d₂. Здесь T_p —не реактивный, а активный момент со стороны ключа, равный Т_ЗАВ — Т_T [см. формулу (1.3)].

Далее (рис. 1.14), или

(1.5)

где — угол подъема резьбы [по формуле (1.1)];— угол трения в резьбе;— приведенный коэффициент трения в резьбе, учитывающий влияние угла профиля [формула (1.2)]. Подставляя значения моментов в формулу (1.3), найдем искомую зависимость:

(1.6)

При отвинчивании гайки окружная сила F₁ и силы трения меняют направление (рис. 1.14,б). При этом получим

(1.7)

Момент отвинчивания с учетом трения на торце гайки, по аналогии с формулой (1.6),

(1.8)

Полученные зависимости позволяют отметить:

1. По формуле (1.6) можно подсчитать отношение осевой силы винта F к силе F_K, приложенной на ручке ключа, т. е F/F_K, которое дает выигрыш в силе. Для стандартны метрических резьб при стандартной длине ключа иF/F_K = 70...80 (см. табл. 1.6).

2. Стержень винта не только растягивается силой F, но и закручивается моментом Т_Р.

Самоторможение и к. п. д. винтовой пары. Условие самоторможения можно записать в виде Тотв>0, где Тотв определяется по формуле (1.8). Рассматривая самоторможение только в резьбе без учета трения на торце гайки, получим или

(1.9)

Для крепежных резьб значение угла подъема лежит в пределах 2°30'...3°30', а угол трения изменяется в зави­симости от коэффициента трения в пределах от 6° (при f≈0,1) до 16° (при f≈0,3). Таким образом, все крепежные резьбы — самотормозящие. Ходовые резьбы выполняют как самотор­мозящими, так и несамотормозящими.

Приведенные выше значения коэффициента трения, свидетельствующие о значительных запасах самоторможения, справед­ливы только при статических нагрузках. При переменных нагрузках и особенно при вибрациях вследствие взаимных микросмещений поверхностей трения (например, в результате радиальных упругих деформаций гайки и стержня винта) коэффициент трения существенно снижается (до 0,02 и ниже). Условие самоторможения нарушается. Происходит самоотвин­чивание.

К. п. д. винтовой пары представляет интерес главным образом для винтовых механизмов. Его можно вычислить по отношению работы, затраченной на завинчивание гайки без учета трения, к той же работе с учетом трения. Работа завинчивания равна произведению момента завинчивания на угол поворота гайки. Так как углы поворота равны и в том и в другом случае, то отношение работ равно отношению моментов , в котором определяется по формуле (1.6), а — по той же формуле, но при f=0 и ϕ = 0:

(1.10)

Учитывая потери только в резьбе (T_T = 0), найдем к. п. д. собственно винтовой пары:

(1.11)

самотормозящей паре, где , . Так как большинство винтовых механизмов самотормозящие, то их к. п. д - меньше 0,5.

Формула (1.11) позволяет отметить, что возрастает с увеличением иуменьшением .

Для увеличения угла подъема резьбы в винтовых механизмах применяют многозаходные винты. В практике редко используют винты, у которыхбольше 20..25°, так как дальнейший прирост к. п. д. незначителен, а изготовление резьбы затруднено. Кроме того, при большем значениистановится малым выигрыш в силе или передаточное отношение винтовой пары (см. гл. 14).

Для повышения к. п. д. винтовых механизмов используют также различные средства, понижающие трение в резьбе: антифрикционные металлы, тщательную обработку и смазку трущихся поверхностей, установку подшипников под гайку или упорный торец винта, применение шариковых винтовых пар и пр.

Распределение осевой нагрузки винта по виткам резьбы. На рис. 1.15 изображена схема винтовой пары. Осевая нагрузка винта передается через резьбу гайке и уравновешивается реакцией ее опоры. Каждый виток ре­зьбы нагружается соотве­тственно силами F₁ F₂, ..., F_z, где z — число витков резьбы гайки.

Сумма . В общем случаеF_i не равны между собой. Задача о распределении нагрузки по виткам статически неопределима. Для ее решения уравнения равновесия дополняют уравнениями деформаций. Впервые она была решена Н. Е. Жуковским в 1902 г. Не излагая это сравнительно сложное решение, ограничиваемся качественной оценкой причин неравномерного распределения нагрузки. В пер­вом приближении полагаем, что стержень винта и гайка абсолютно жесткие, а витки резьбы податливые. Тогда после приложения нагрузки F все точки стержня винта (например, А и В) сместятся одинаково относительно соответствующих точек гайки (например, С и D). Все витки получат равные прогибы, а следовательно, и равные нагрузки (рис. 1.15, а). Во втором приближении полагаем стержень винта упругим, а гайку оставляем жесткой. Тогда относительное перемещение точек А и D будет больше относительного перемещения точек В и С на значение растяжения стержня на участке АВ. Так как нагрузка витков пропорциональна их прогибу или относительному перемещению соответствующих точек, то нагрузка первого витка больше второго и т. д.

В действительности все элементы винтовой пары податливы, только винт растягивается, а гайка сжимается. Перемещения точки D меньше перемещений точки С на значение сжатия гайки на участке CD. Сжатие гайки дополнительно увеличит разность относительных перемещений точек А и D, В и С и т. д., а следовательно, и неравномерность нагрузки витков резьбы.

Все изложенное можно записать с помощью математически символов. Обозначим перемещения соответствующих точек. Вследствие растяжения участка АВ винта, а вследствие сжатия участка CD гайки.

Относительное перемещение точек А и D, В и С

,

Учитывая предыдущие неравенства, находим . Следовательно, нагрузка первого витка больше нагрузки второ­го и т. д.

График распределения нагрузки по виткам, полученный на основе решения системы уравнений для стандартной шестивитковой гайки высотой H=0,8d, изображен на рис. 1.15,б. В дальнейшем решение Н. Е. Жуковского было подтверждено экспериментальными исследованиями на прозрачных моделях. График свидетельствует о значительной перегрузке нижних витков и нецелесообразности увеличения числа витков гайки, так как последние витки мало нагружены. По этому условию нецелесообразно применение мелких резьб (при высоте гайки Н= const).

Рис. 1.16

Теоретические и экспериментальные исследования позволили разработать конструкции специальных гаек, выравнивающих распределение нагрузки в резьбе (рис. 1.16). На рис. 1.16, a изображена так называемая висячая гайка. Выравнивания нагрузки в резьбе здесь достигают тем, что как винт, так и гайка растягивают­ся. При этом неравен­ство изменит­ся на обратное, а разностьуменьшит­ся. Кроме того, в на­иболее нагруженной нижней зоне висячая гайка тоньше и обла­дает повышенной податливостью, что также способствует выравниванию нагрузки в резьбе. На рис. 1.16,б показана разновидность висячей гайки — гайка с кольцевой выточкой. У гайки, изображенной на рис. 1.16, в, срезаны вершины нижних витков резьбы под углом 15...20°. При этом увеличивается податливость нижних витков винта, так как они соприкасаются с гайкой не всей поверхностью, а только своими вершинами. Увеличение податливости витков снижает нагрузку этих витков.

Специальные гайки особенно желательно применять для соединений, подвергающихся действию переменных нагрузок. Разрушение таких соединений носит усталостный характер и происходит в зоне наибольшей концентрации напряжений у нижнего (наиболее нагруженного) витка резьбы. Опытом установлено, что применение специальных гаек позволяет повысить динамическую прочность резьбовых соединений на 20.. .30%.

Решение, результаты которого приведены на рис. 1.15,6, справедливо в пределах упругих деформаций и при номиналь­ных значениях размеров. Вследствие большой жесткости резьбы на фактическое распределение нагрузки существенно влияют технологические отклонения размеров; небольшие пластические деформации перегруженных витков, допустимые для крепежных резьб; приработка ходовых резьб. Поэтому при практических расчетах неравномерность распределения нагрузки по виткам резьбы учитывают опытным коэффициентом К_m (см. ниже).