9.1 Интерполяция по Лагранжу

Интерполяция по Лагранжу позволяет рассчитать единственный многочлен n-ой степени , проходящий через все узлы интерполяции, т.е. многочлен удовлетворяет условиям

при i=0, 1, …, n.

При этой интерполяции задается n+1 табличное значение ( ), где i=0, 1, …, n. Предполагается, что точки ( ) принадлежат кривой y=f (x) в интервале .Интерполяционный многочлен для этого метода имеет вид:

=

где все -многочлены степени n, коэффициенты которых можно найти с помощью n+1 уравнений

, где i=0, 1, …, n.

В результате получим систему уравнений

……………………………………………………………

Если значения выбраны так, что

=1 при i=j или =0 при i j

То выписанные выше уравнения будут удовлетворены. Это условие означает, что любой многочлен равен нулю при каждом , кроме . Следовательно, в общем случае многочлен имеет вид

Так как то коэффициент определяется выражением

Наконец, для искомого многочлена получаем

.

Введя обозначения

Можем записать полученный многочлен в более компактном виде

.

9.2. Интерполяция по методу Ньютона-Грегори – метод разделенных разностей

Интерполяционный полином метода Ньютона-Грегори имеет вид

Коэффициент находится из уравнений

i=0, 1, …, n,

позволяющий записать систему

Эта линейная система уравнений с треугольной матрицей, и определение с ее помощью значений не вызывает затруднений.

9.3 Сплайн-интерполяция

Сплайн – совокупность сопряженных полиномов, первые и вторые производные которых в узлах сопряжения равны. Термин сплайн происходит из механики- он означает гибкую линейку, которая позволяет провести между этими точками непрерывную кривую с минимальной энергией за счет изгиба.

g₂(x)

g₁(x) g_m(x)

y ₀

x₀ x₁ x_m

Классический сплайн: кубический сплайн. В общем виде полином выглядит следующим образом:

, где - 4 неизвестных.

Значит наша задача сводится к определению 4m неизвестных:

- крайние значения

Используются сплайны и более высоких порядков, а также иные условия в пограничных точках.

Лекция 10

Стохастическая зависимость. Корреляционный анализ, коэффициент корреляции, доверительный интервал для коэффициента корреляции.

10.1 Стохастическая зависимость

В математическом анализе зависимость между двумя величинами выражается понятием функции y=f(x), где каждому допустимому значению одной переменной соответствует одно и только одно другой переменной.

Между случайными величинами также может существовать особая связь, при которой изменение одной величины меняется распределение другой. Такая связь называется стохастической.

Стохастическая зависимость между случайными величинами может быть записана , где S(x) – некоторая зависимость y от x, ε – неконтролируемый фактор.

Если S(x)≠0, то говорят, что между случайными величинами x и y существует стохастическая зависимость.

Если S(x)=0, то говорят, что величины x и y независимы.

10.2 Корреляционный анализ, коэффициент корреляции

Для двух случайных величин, связанных стохастически , вводится понятие силы стохастической связи. Одним из показателей силы стохастической связи является коэффициент корреляции.

Известно, что дисперсия суммы двух случайных величин:

Преобразуем это выражение следующим образом:

- корреляционный момент. Эта величина является размерной. Чтобы избавиться от размерности, нормируем ее следующим образом:

- коэффициент корреляции

Дисперсия разности двух случайных величин:

В силу линейности, введем понятие нормируемой случайной величины:

;

Известно, что дисперсия нормированных случайных величин равна 1, т.е. D(x)=D(y)=1

В итоге, получаем систему уравнений:

Если R=±1, то говорят о том, что между величинами существует функциональная связь.

Коэффициент корреляции дает также качественную оценку этой стохастической связи:

R>0 : увеличение одной случайной величины дает увеличение другой случайной величины

R<0 : увеличение одной случайной величины дает уменьшение другой случайной величины

Важно помнить, что если случайные величины не имеют стохастической связи, то . Обратное несправедливо.

В связи с тем, что коэффициент корреляции рассчитывается как некоторая статистика на векторе измерений, то он может отличаться от нуля даже в отсутствии корреляции между исследуемыми величинами. Следовательно, для проверки гипотезы об отсутствии корреляции необходимо проверить значимо ли отличается R от нуля. Если в качестве нулевой гипотезы взять =0, то можно воспользоваться R-распределением, которое зависит от объема выборки.

Если рассчитанный по выборке коэффициент корреляции R удовлетворяет неравенству

IRI> ,

то принимается нулевая гипотеза об отсутствии корреляционной связи с доверительной вероятностью p=1- . Это значит, что и между исследуемыми величинами есть корреляция.

Лекция 11

Регрессионный анализ. Регрессионные модели. Метод наименьших квадратов. Система нормальных уравнений. Определение степени полинома при неизвестном классе функций. Расчет с использованием полиномов Чебышева.