4.3 Последовательный анализ Вальда

Число параллельных наблюдений при проверке гипотез с заданными вероятностными ошибками первого и второго рода может быть сокращено в среднем в 2 раза, если использовать метод последовательного анализа, разработанным Вальдом.

Рассмотрим применение метода Вальда к анализу генерального среднего a наблюдаемой случайной величины.

Полагаем, что необходимо сделать выбор между гипотезами a<= и a>= (предполагаем, что < ).

Обозначим через вероятность события, состоящего в том, что принимается гипотеза a>= , в то время, как в действительности a<= .

Обозначим через β вероятность события, состоящего в том, что принимается гипотеза a<= , в то время как в действительности a>= .

Идея используемого анализа заключается в следующем. При каждой совокупности наблюдений x1,x2,…….,xn рассчитываются вероятности событий и :

– вероятность событий, состоящим в том, что наблюдения полученные из совокупности с генеральным средним , а – вероятность события, состоящего в том, что наблюдения полученные из совокупности с генеральным средним . Согласно принципу максимального правдоподобия – правдоподобным в природе является событие, имеющее большую вероятность (максимальную). Это означает, что при > более правдоподобным является гипотеза , a<= если же < , то следует отдать предпочтение гипотезе a>= .

Таким образом, все определяется отношением / , носящим название отношение правдоподобия.

Вальд показал, что гипотезу a<= можно принять , если / <= , иначе, если / >= , то принимается гипотеза a>= .

Если < / < ,то наблюдения следует продолжать.

Из выражений видно, что граница для отношения правдоподобия не меняются, меняется лишь само отношение правдоподобия. Если наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение с известной дисперсией , то условия продолжения наблюдений преобразуются к виду определяется линейными границами( рассмотреть самостоятельно).

Лекция 5

Выявление тренда статистических характеристик. Критерии Стьюдента, Фишера, Фостера - Стюарта.

5.1 . Критерии Стьюдента, Фишера

Выявление трендов (тенденций) случайных величин может быть определено с использованием критериев Стьюдента, Фишера, Фостера - Стюарта.

Сравнение двух выборок производится с помощью t- статистики Стьюдента при условии сформулированных требований о законе распределения и соотношении между дисперсиями. При этом выдвигается нулевая гипотеза об оценках выборочных средних и . Если они статистически значимо не отличаются друг от друга, то и сами выборки признаются значимо не отличающимися. Для проверки этого предположения вычисляется статистика Стьюдента:

t=( - )/S,

где S – оценка среднеквадратического отклонения разности двух выборочных средних:

S= ;

–средневзвешенное среднеквадратическое отклонение двух среднеквадратических отклонений и , рассчитанных по каждой выборке;

=(( -1)* * +( -1) * )/( + -2)

Вычисленное значения статистики t сравнивается с критическим . Оно зависит от числа степеней свободы ( + -2) и от уровня , который принимается равным порядка 0,05 или 0,01 и т.п.. Критическое значение критерия Стьюдента берется из таблицы распределения или вычисляется формулам .

Если вычисленное значение статистики Стьюдента оказывается больше или равно критическому, то по критерию Стьюдента нулевая гипотеза отвергается и различия между выборками признаются статистически значимыми. В противном случае нулевая гипотеза принимается и считается, что значимых различий между выборками нет.

Применение критерия Стьюдента считается корректным, если дисперсии и , рассчитанные по каждой выборке являются оценками одной генеральной дисперсии( т.е. незначимо различаются в статистическом смысле). Для проверки гипотезы о незначимом различии дисперсий используется статистика F= / (в числитель подставляется большая из дисперсий), которая сравнивается с критическим значением . По критерию Фишера, если F < , то гипотеза о незначимом различии дисперсий принимается с уровнем значимости .