ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ»
Кафедра математики и информатики
Н.И. Васильева, Е.Ю. Непомнящая
Методы интегрирования
Методические указания
к решению задач по теме «Методы интегрирования»
для студентов ФАВТ, ФМА, ФФиТРМ
дневного, вечернего и заочного отделений
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2012
Составители: Н.И. Васильева, Е.Ю. Непомнящая
Рецензент: Е.Н. Бегун
Утверждено на заседании кафедры математики и информатики.
Протокол №8 от 9 января 2012 года.
Данные методические указания предназначены для самостоятельного изучения раздела высшей математики "Неопределенный интеграл" и содержат теоретические сведения и примеры решения задач по технике интегрирования.
§1. Первообразная и неопределенный интеграл.
Определение
1. Функция
называется первообразной
функции
на
интервале
,
если для любого
выполняется равенство
Пример.
Функция
является первообразной для функции
,
так как
.
Функция
также является первообразной для функции
.
Мы видим, что две первообразные для одной и той же функции отличаются только постоянной.
Очевидно,
что если
– первообразная
и
С
– произвольная постоянная, то
содержит все первообразные функции
.
Определение
2. Совокупность всех первообразных
называется неопределенным
интегралом
от функции
и
обозначается символом
,
то есть
,
где
называется подынтегральной
функцией,
– подынтегральным
выражением,
а С
– произвольной постоянной интегрирования.
Примеры.
1.
,
так как
.
2.
Понятно, что проверку нужно сделать дифференцированием. Сделайте это самостоятельно.
Свойства неопределенного интеграла.
1. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
,
.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
4. Неопределенный интеграл от суммы двух или конечного числа функций равен сумме интегралов от этих функций:
5.
где
– первообразная функции
Инвариантность формулы интегрирования
Если
,
то и
,
где
– произвольная функция, имеющая
непрерывную производную.
Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или функцией от нее.
Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием.
Запишем ряд интегралов, которые в дальнейшем будем считать табличными.
Таблица 1
.
2а.
2b.
.
Формулы
2a
и 2b
являются частными случаями формулы 2
при
и
В таблице аргумент подынтегральной функции обозначен через t, при этом аргумент может быть как независимой переменной, так и функцией.
В дальнейшем под термином "интеграл" мы будем понимать «неопределенный интеграл».