28. Продуктивные модели Леонтьева.

Определение. МатрицаА (а> 0; i,j = 1,n) называется продуктивной, если для любого вектора у (у₁> 0; 1 = 1, и) существует вектор x (х_;> 0; i = 1,n), который является решением векторно-матричного уравнения: х=Ах+у. (1.5)

Модель Леонтьева, у которой матрицаАпродуктивная, называется продуктивной моделью.

Рассмотрим две теоремы, устанавливающие критерии продуктивности.

Теорема 1. Первый критерий продуктивности.

Если для матрицыА (a_ij> 0; i,j= 1,n) и для некоторого вектора у(y_i0>0; i = 1 ,n) уравнение (1.5) имеет решение х(х_i0>0; i = 1,n), то матрица А продуктивна. Без доказательства.

Данная теорема утверждает, что нет необходимости требовать существования решения X (х_i>0; i= 1 ,п) уравнения (1.5) для любого вектора у (у_i>0; i = 1,n), а достаточно найти хотя бы один такой вектор.

Для замкнутой экономической модели таким вектором может быть вектор y=0 (.у_i = 0, i=1,n). Тогда уравнение примет вид: x = Ах или (А — Е)х = 0, (1.6)

гдеЕ — единичная матрица.

В этом случае решение X является собственным вектором матрицыА, соответствующим её собственному числу λ = 1. Таким образом, для продуктивности закрытой модели необходимо, чтобы матрица прямых затратА имела собственное число λ= 1.

Теорема 2. Второй критерий продуктивности.

МатрицаА(а_ij. > 0; i,j= 1,n) продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е — А)^-1 существует и неотрицательна.

Доказательство. Запишем уравнение Леонтьева (1.5) в виде

х -Ах =у,или (А- Е)х =у. (1.7)

Доказательство необходимости. МатрицаС= (Е— А)^-1 существует и C_ij> 0. Тогда решение

х = (Е-А)^-1у (1.8)существует, а поскольку у вектора увсе компоненты у_ij≥ 0, то и у вектора x все компоненты больше или равны нулю, т. е. x_ij ≥ 0. Следовательно, матрицаАпродуктивна.

Доказательство достаточности. МатрицаАпродуктивна. Рассмотрим вектор

У=∑e_i

где e_i = [1, 0, ... О]^Т , е₂=[0, 1, ... 0]^Т, ... , е_n-[0, 0, ... 1]^T - вектор-столбцы.

Тогда, поскольку система уравнений (1.5) линейна, можно рассмотреть эквивалентную ей систему из n линейных систем уравнений:

(Е - А) х = e₁,..., (Е-А)х =e_n.

Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицыАимеет неотрицательное решение c₁(C_1i> 0), с₂(с_2i;> 0),…c_n(c_ni> 0), то есть

(Е - А) с₁ = е_1, (Е-А)с₂ = е₂,...,(Е-А) с_n = е_n.

Обозначим черезС матрицу, столбцы которой являются вектор-столбцами, то есть С = [c₁, с₂,… с_n].

Так как Е = [e₁, e₂…e_n] является единичной матрицей, то (Е - А)С = Е, следовательно, матрица С есть обратная матрица (Е -А)^-1к матрице (Е — А), причём с_ij≥ 0. Теорема доказана.

Замечание 1. Экономический смысл вектора е_i, означает, что на внешнее потребление выпускается только одна единица продукта i-й от­расли, так как

Замечание 2. Матрица С характеризует затраты на выпуск товарного продукта (матрица полных затрат). a_ij<c_ij

29. модель равновесных ценКроме модели Леонтьева, существует двойственная ей, так называемая модель равновесных цен.Обозначим через р =[p₁,p₂,…p_n] транспонированный вектор- столбец цен, i -я координата которого p_i равна цене единицы продукции i-й отрасли; х^T = [х₁,х₂,...,х_n] - транспонированный вектор-столбец валового выпуска x, А - матрицу прямых затрат.Как и ранее, предполагается, что каждая отрасль производит один вид продукта (изделия). Тогда, если j -я отрасль выпускает х_i единиц изделий, то она получит доход, равный XjPj. Часть своего дохода, а именно ∑a_ijx_jp_jj -я отрасль вынуждена будет потратить на закупку изделий других отраслей. Оставшуюся часть обозначим через z_j Эта часть дохода идёт на предпринимательскую прибыль и инвестиции, на выплату налогов и зарплат и т. д. Она носит название добавленной стоимости.С учётом названных доходов и расходов уравнение баланса, выраженное в денежных единицах, примет вид p_jx_j=(∑a_ijp_j)x_j+z_j (j=1,n)

После деления на Xj всех членов соотношения (1.10) оно запишется в следующей форме:

p_j=∑a_ijp_j+μ_j, где μ_j=z_j/x_j (1.11)

Величина μ_j равная отношению добавленной стоимости z_j, к сумме единиц выпускаемой продукции Xjj-ой отраслью, называется нормой добавленной стоимости.

Систему n скалярных уравнений (1.11) можно записать в векторно-матричной форме:

p = A^Tp+μ, где (1.12)

Уравнение (1.12), являющееся моделью равновесных цен, имеет внешнее сходство с моделью Леонтьева. Отличие заключается в замене вектора валового выпуска х на вектор стоимости р, вектора конечного потребления уна вектор норм добавленной стоимости μ, а матрица А заменена на транспонированную матрицу А^Т .

Модель (1.12) позволяет прогнозировать цены на продукцию отраслей, изменение цен и инфляцию, хная нормы добавленной стоимости. Для этого необходимо преобразовать соотношение (1.12):

Ep-A^Tp=μили (E-A^T)p=μ

Отсюда p=C^Tμ, где C^T=(E-A^T)^-1