§2.1 Векторы. Линейные операции над векторами

Геометрический вектор - это направленный отрезок, у которого один конец (точка А) называется началом вектора, а другой конец (точка В) – концом вектора.

Длиной вектора (модулем) называют длину отрезка [АВ]. Векторы обозначают как , а их длины .

Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаковое направление.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым .

Произведением вектора на некоторое число αR называется вектор, длина которого равна длине вектора , умноженный на абсолютную величину числа α, а направление совпадает с направлением вектора , если α>0, и противоположно ему, если α<0.

Суммой нескольких векторов называется вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего.

Проекцией вектора на ось ОХ называется число, равное длине вектора , умноженной на косинус угла между вектором и положительным направлением оси ОХ.

Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается скалярное произведение как или .

Итак, по определению, = .

Свойства скалярного произведения

1. = .

2. .

3. .

4. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то .

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то есть .

Применение скалярного произведения

Длина вектора равна .

Угол между векторами определяется как .

Проекция вектора :  .

Условие ортогональности двух векторов =0, .

Работа силы по перемещению материальной точки из А в В равна .

§2.3. Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов называется такой вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах , вектор перпендикулярен векторам и направлен таким образом, что при взгляде в конец вектора кратчайший поворот от видится против часовой стрелки. В этом случае говорят, что векторы образуют правую тройку. В противном случае тройка векторов левая.

Обозначается векторное произведение как или .

Модуль вектора .

Применение векторного произведения

1. Площадь треугольника, построенного на векторах , равна .

2. Условие коллинеарности двух векторов = .

3. Момент силы , приложенный в точке А, равен .

Смешанное произведение векторов

смешанным произведением трех векторов а,в,с называется число, равное скалярному произведению вектора а*в  на вектор  с с : (а, б,с)=((а,в),с)

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов  правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах:  . В случае левой тройки  смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус:  . Если  ,   и   компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах  ,   и   равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

1°    

2°    

3°    Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда 

4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда  . Если же  , то векторы  ,   и   образуют левую тройку векторов.

Прямая на плоскости

     Общее уравнение 

А_х+В_у+С(А²+В²>0)

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и M₂ ( x ₂, y ₂ , z ₂ ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:   или

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить  , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Расстояние от точки до прямой

 Теорема. Если задана точка М(х₀ , у₀ ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

^Эллипс

Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.3)

- каноническое уравнение гиперболы

Парабола - множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

x²=2pу отнУ

у²=2px отн Х

Уравнения плоскости

Стандартное уравнение плоскости - Ax + By + Cz + D = 0

Угол между прямыми определяется как