Итерационные методы решения слау: метод Зейделя. Метод Зейделя
Преобразуем выражение (2.9) к виду
, (2.11)
где n - также номер итерации. В отличие от метода Якоби, теперь для вычисления очередной неизвестной используются найденные на этой же итерации значения всех предыдущих величин. Как и ранее, вычислительный процесс заканчивается, когда выполняется условие:
,
>0 - заданная точность вычисления результата.
Пример 2.4. Рассмотрим систему алгебраических уравнений, указанную в предыдущем примере:
Представим полученные выражения в виде итерационной схемы:
Это означает, что для нахождения величины y на (n+1) итерации используется значение x, только что вычисленное на этой же итерации. В качестве начального приближения также примем . Результаты расчетов сведены в табл. 2.2. На рис. 2.2 графически показан ход выполнения итерационной процедуры Зейделя.
Как и в предыдущем случае, представим матрицу коэффициентов А в виде суммы с теми же обозначениями. Метод Зейделя можно представить в форме
.
Учитывая, как и ранее, что
,
последнее выражение можно записать в
виде итерационной схемы
. (2.12)
Таблица 2.2
Результаты выполнения итерационной процедуры метода Зейделя
-
n
x(n)
y(n)
0
0
1
1,25
1,05
2
0,725
1,365
3
0,5675
1,4595
4
0,5203
1,4879
5
0,5061
1,4964
6
0,5018
1,4989
7
0,5005
1,4997