Погрешности округления чисел в эвм

Округлением будем называть операцию замены заданного числа другим числом, первые S значащих цифр которого совпадают с соответствующими цифрами исходного числа, а начиная с S+1 разряда содержат нули.

Многие практические способы округления чисел выполняют отбрасывание “лишних” разрядов, хотя возможны варианты, при которых в “младший” разряд округленного числа, в зависимости от ситуации, может добавляться единица.

Пусть, например, x=123456789, тогда при S=7 округленное число принимает значение . В этом случае погрешность округления равна , то есть не превышает единицы (с соответствующим порядком) в младшем разряде округленного числа.

Всякое вещественное число в компьютере представляется в нормализованном виде x = ap^b, где p - основание, b - показатель степени (целые числа), a - мантисса (вещественное число). Для определенности и однозначности будем считать p=10, . Ошибки округления появляются при хранении именно мантиссы вещественного числа. В представлении чисел на персональных компьютерах IBM достоверными могут быть 7 значащих цифр (для хранения числа отводится 4 байта оперативной памяти), 15 цифр (8 байт) или 19 (10 байт).

Рассмотрим оценки погрешности округления при S=7. Округленное число представляется в виде , где под символом X может пониматься любая цифра от 0 до 9. Очевидно, что абсолютная погрешность определяется значением

.

Модуль относительной погрешности

.

Для некоторых частных случаев погрешность представления вещественных чисел оценивается:

2. Абсолютная и относительная погрешности. Погрешность результатов арифметических операций.

Оценка погрешности результата вычисления при заданной ошибке в представлении данных может быть проведена следующим образом. Пусть x - точное значение, а - приближенное значение той же переменной. Обозначим абсолютную погрешность  в определении переменной разностью

.

Поскольку точное значение x неизвестно, введем “верхнюю” оценку  для величины погрешности: . Определим также величину относительной погрешности

.

Абсолютная погрешность делится на приближенное значение переменной, поскольку ее точное значение неизвестно.

Погрешность результатов вычисления арифметических операций

Оценим погрешность результата сложения двух чисел, заданных с ошибкой:

.

Аналогично определяется погрешность результата вычитания:

.

Для определения абсолютных погрешностей операций умножения и деления двух чисел проведем соответствующие выкладки:

.

Оценим относительные погрешности результатов умножения и деления:

,

.

В последних выражениях учитывается, что величины .

Таким образом, при выполнении арифметических операций сложения и вычитания складываются (вычитаются) абсолютные погрешности, а при умножении и делении - относительные погрешности.

3. Прямые методы решения слау: метод Гаусса. Метод Гаусса

Рассмотрим процедуру решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса на следующем примере:

Главный определитель такой системы

,

что гарантирует единственность решения.

1 шаг. Первая строка системы уравнений делится на первый коэффициент:

2 шаг. Первая строка вычитается из второго уравнения:

3 шаг. Из третьего уравнения вычитается первая строка, умноженная на 2:

4 шаг. Второе уравнение делится на 2:

5 шаг. Из третьего уравнения вычитается второе уравнение, умноженное на 2:

6 шаг. Определяются искомые величины:

Таким образом, получено решение исходной системы уравнений.

Теперь рассмотрим процедуру получения решения методом Гаусса в более общем случае. Пусть . Тогда первое уравнение системы (2.2) можно поделить на этот коэффициент:

.

С помощью этого уравнения можно преобразовать систему уравнений (2.2) к виду

Здесь обозначено . В полученной системе можно выделить подсистему (m-1) линейных уравнений с (m-1) неизвестными величинами:

Пусть теперь . Поделим второе уравнение системы на этот коэффициент:

.

С помощью этого соотношения уравнения системы преобразуются к виду

Здесь обозначено .

В результате преобразований получена подсистема (m-2) уравнений с (m-2) неизвестными:

В предположении, что , делим третье уравнение системы на этот коэффициент:

.

Снова выполняется следующий шаг по понижению порядка системы алгебраических уравнений, и так далее, до тех пор, пока вся система уравнений не будет преобразована к виду

В результате всех произведенных выкладок матрица коэффициентов А системы алгебраических уравнений приведена к виду

- “верхняя” треугольная матрица, у которой равны нулю все элементы, расположенные под главной диагональю. Процедура получения такой матрицы носит название “прямого хода” метода Гаусса. Очевидным условием для успешного выполнения “прямого хода” является .

“Обратный ход” метода позволяет определить искомые величины:

Таким образом, “прямой ход” метода Гаусса можно трактовать как преобразование системы уравнений вида Ax = f в эквивалентную систему Ux = y, причем

.

Последнюю систему соотношений с учетом вышеприведенных выкладок можно представить в иной форме

и записать в виде Ly = f , где L - нижняя треугольная матрица с отличными от нуля коэффициентами на главной диагонали.

Все вышесказанное позволяет трактовать метод Гаусса как последовательное решение двух систем уравнений: Ly = f и Ux = y .

Объединяя эти соотношения, получаем

LUx = f.