
- •Вопросы по вычислительной математике.
- •Погрешности при численном решении задач: погрешность исходных данных, погрешность аппроксимации, погрешность округления. Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Абсолютная и относительная погрешности. Погрешность результатов арифметических операций.
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •Прямые методы решения слау: метод Гаусса. Метод Гаусса
- •Прямые методы решения слау: метод квадратного корня. Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Итерационные методы решения слау: метод Якоби. Метод Якоби
- •Итерационные методы решения слау: метод Зейделя. Метод Зейделя
- •Сходимость итерационных методов
- •Методы решения нелинейных уравнений: метод простых итераций, условие сходимости. Метод простых итераций
- •Методы решения нелинейных уравнений: метод деления пополам. Метод половинного деления
- •Методы решения нелинейных уравнений: метод Ньютона, оценка погрешности и сходимость. Модификации метода Ньютона.
- •Модификации метода Ньютона
- •Методы решения систем нелинейных уравнений: метод простых итераций, методы Ньютона, Якоби и Зейделя. Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Интерполирование функций. Необходимое условие для системы функций I(X).
- •Интерполирование с помощью алгебраических многочленов: интерполяционный полином Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполирование с помощью алгебраических многочленов: интерполяционный полином Лагранжа. Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полиномов Ньютона и Лагранжа. Сходимость интерполяционного процесса. Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяция сплайнами.
- •Интерполяция с помощью метода наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов
- •Численное дифференцирование: аппроксимация производных конечными разностями, погрешность. Конечно-разностная аппроксимация
- •Численное дифференцирование: вычисление производных с помощью интерполяционных полиномов.
- •Численное интегрирование: квадратурные формулы прямоугольников, погрешность. Формула прямоугольников
- •Численное интегрирование: формула трапеций, погрешность. Формула трапеций
- •Численное интегрирование: формула Симпсона, погрешность. Формула Симпсона
- •Численные методы решения оду. Схема Эйлера; оценка точности решения. Метод Эйлера
- •Численные методы решения оду: схема Рунге-Кутты 2-го порядка.
- •Методы решения систем дифференциальных уравнений: метод Эйлера, метод Рунге-Кутты. Метод Эйлера для системы дифференциальных уравнений
- •Метод Рунге-Кутты для системы дифференциальных уравнений
- •Граничная задача. Сеточный метод.
- •Разрешимость системы алгебраических уравнений метода сеток
- •Оценка порядка аппроксимации
- •Метод прогонки для решения сеточной задачи.
Численное дифференцирование: аппроксимация производных конечными разностями, погрешность. Конечно-разностная аппроксимация
Пусть на отрезке [a, b] введена сетка с
шагом
,
.
В произвольной точке этой сетки приближенное значение производной некоторой функции u(x) можно представить несколькими способами:
;
;
.
u(xi+1)
u(xi)
u(xi-1)
xi-h
xi
xi+h
Рис. 6.1. Схема численного дифференцирования
Вполне очевидно, что эти формулы по-разному, то есть с различной степенью точности, представляют значение производной в рассматриваемой точке.
Для оценки получаемых погрешностей воспользуемся разложениями рассматриваемой функции в ряды Тейлора вблизи заданной точки xi :
,
.
Оценим погрешность представления
величиной
первой производной, то есть отклонение
действительного значения производной
от ее приближенного значения:
Полученный результат свидетельствует
о том, что погрешность аппроксимации
первой производной
выражением
определяется величиной, пропорциональной
шагу h сетки
при условии ограниченности второй
производной
и малости самого шага h. В этом случае
говорят, что имеет место первый порядок
аппроксимации.
Оценим погрешность аппроксимации
величиной
первой производной:
Видно, что в этом случае также имеет место первый порядок аппроксимации.
Аналогично поступим для оценки погрешности
формулы
:
В последнем случае получили уже второй порядок аппроксимации. Это означает, что из трех выражений для аппроксимации производной последний вариант обеспечивает наименьшую погрешность.
Вполне очевидно, что в любом из рассмотренных случаев приближение производной ее разностным аналогом тем точнее, чем меньше шаг h выбранной сетки. Вместе с тем следует иметь в виду, что уменьшение шага h приводит к возрастанию погрешности вычислений.
В самом деле, пусть вместо точных значений
и
вследствие ошибок округления получены
значения
и
.
Аппроксимация производной
вычисляется также с ошибкой
.
При известных оценках
полную погрешность можно также оценить
.
Очевидно, следует потребовать, чтобы погрешность округления не превышала погрешности аппроксимации при записи разностного аналога:
,
где
- чебышевская оценка второй производной
заданной функции на отрезке [a, b].
Отсюда следует
.
Численное дифференцирование: вычисление производных с помощью интерполяционных полиномов.
Для получения приближенного значения производной можно воспользоваться рассмотренными ранее способами аппроксимации значения функции. Идея заключается в том, что сложная функция заменяется вблизи заданной точки некоторым полиномом, для которого и определяется значение производной.
В частности, для трех точек
полином Лагранжа имеет вид:
Определим для построенного полинома производные:
,
.
Для выбранной точки
получаем значение первой производной
.
Очевидно, что выражение
от переменной x не зависит.
В частном случае постоянного шага сетки
получаем
,
.