Вопросы по вычислительной математике.

1. Погрешности при численном решении задач: погрешность исходных данных, погрешность аппроксимации, погрешность округления. Погрешность исходных данных

Любая математическая модель использует для проведения расчетов некоторые данные, получаемые с помощью натурных измерений. В силу погрешности измерительных инструментов, ошибок при снятии размеров, нестабильности свойств и размеров тел практичеси все исходные данные содержат погрешности, влияющие в большей или меньшей степени на результаты расчетов. Точность определения параметров в промышленных условиях, как правило, составляет 1 - 10 % . Точные иследования при наличии достаточной инструментальной базы и специальных условий позволяют достичь 0,001 - 0,0001% погрешности. Прецизионные измерения обеспечивают погрешность в пределах 10^-8 - 10^-10 %. Как и в предыдущем случае, погрешности измерения вносят неустранимые искажения в результаты решения задач. В связи с этим имеет смысл накладывать ограничения и на точность выполнения математических вычислений: погрешность вычислений должна быть меньше погрешности измерения примерно в 10 раз. Более высокая точность вычислений является бессмысленной из-за наличия погрешностей представления исходных данных.

Погрешность численного метода

Погрешность метода решения задачи на вычислительной машине определяется неточностью замены алгебраического, дифференциального или интегрального оператора в исходном уравнении поставленной задачи приближенным (линейным или разностным). Например, при замене интеграла конечной суммой:

,

где N - число разбиений отрезка [a, b], h - шаг интегрирования, точное значение площади под графиком заменяется суммой площадей соответствующих прямоугольников (рис 1.2).

Очевидно, что при приближенном определении значения интеграла появляется погрешность, определяемая величиной “лишних” частей взятых прямоугольников. Чем меньше шаг интегрирования h, тем выше точность вычисления значения интеграла.

a b

Рис. 1.2. Схема численного интегрирования

Аналогичная ситуация имеет место при замене производной разностным аналогом (рис. 1.3):

.

Понятно, что в этом случае погрешность замены производной разностным аналогом также уменьшается с уменьшением величины шага h. Иначе говоря, при использовании численных методов погрешность решения является регулируемой: при корректном построении разностной аппроксимации исходного уравнения всегда имеется некоторый параметр, варьированием которого можно регулировать величину погрешности получаемого результата.

x x+h

Рис. 1.3. Схема численного дифференцирования

Вместе с тем следует иметь в виду, что повышение точности решения модели приводит к ощутимому повышению затрат ресурсов ЭВМ (времени проведения вычислений и оперативной памяти). Поэтому необходимо придерживаться “золотой середины”: достижение приемлемых затрат ресурсов при получении удовлетворительной точности.