3.1.Определение периода цикличности на основе функции автокорреляции

Под автокорреляцией R_a (лага в t периодов) понимают корреляцию ряда с рядом, полученным из исходного сдвигом на t периодов. При этом в расчет не принимаются граничные значения рядов.

, где

COV (Y,G) – ковариация,

D – смещенная дисперсия

Рассмотрим пример расчета автокорреляции лага 1 (Рисунок 1 -10). В расчете использовались данные, выделенные жирной рамкой ( с янв. по май). Расчет с помощью функции КОРРЕЛ проверен по вышеприведенной формуле. Обратите внимание, что дисперсия рассчитана по функции ДИСПРА.

Рисунок 1‑10 Расчет автокорреляции.

Функцией автокорреляции от времени R_a (t) называют зависимость коэффициента автокорреляции от лага t.

Возьмем явно периодичный ряд с циклом 5 лет (Рисунок 1 -11). Построим 5 сдвинутых рядов и рассчитаем коэффициенты автокорреляции, тем самым построим функцию автокорреляции.

Рисунок 1‑11 Использование функции автокорреляции для определения длины цикла.

На рисунке видно, что исходный ряд (Y) больше всего похож по колебаниям (коррелирует на 100%) на ряд, сдвинутый на величину цикла (Y-5). Т.о., наибольшие значения функции автокорреляции соответствуют лагам, кратным длине цикла. Наименьшие значения – лагам, равным полуциклам. (В данном примере полцикла –2,5 периода, что соответствует приблизительно равным минимумам коэф. Корреляции – 0,41 и 0,49).

Вывод: период цикличности можно определить на основе максимума функции автокорреляции.

3.2.Сглаживание по нечётной базе

Сглаженный ряд рассчитывается по формуле: . В частности, если длина базы n=3, имеем: . Т.е., значение сглаженного ряда в момент t, определяется как среднее значений исходного ряда в тот же момент времени и в (n-1)/2 моменты времени до и после момента t.

Рисунок 1 -12 показывает сглаживание по базам в 3 и 5 периодов. Чем больше база – тем меньше длина сглаженных рядов.

Рисунок 1‑12 Скользящее среднее нечётной базы.

3.3.Сглаживание по четной базе

Перенести формулу сглаживания по нечетной базе на четную базу непосредственно не удаётся – непонятно к какому периоду относить усреднённые значения. В зависимости от целей сглаживания используют следующие подходы.

1. Отнесение результата сглаживания к моменту, разделяющему средние периоды.

. Если длина базы n=2, имеем: .

Данный способ часто используется в статистике, но неудобен тем, что исходный и сглаженный ряд несопоставимы, т.к. их значения относятся к различным периодам.

2. Отнесение результата сглаживания к последнему периоду.

. Если длина базы n=2, имеем: .

Сглаженный ряд, полученный данным способом, отстаёт от ряда, полученного предыдущим способом, на n/2-0.5 периода. Т.е., является смещённым. (На его основе, однако, можно определить форму тренда). Это сглаживание используется как один из индикаторов биржевой конъюнктуры.

MS Excel использует именно этот метод.

3. Отнесение результата сглаживания к среднему периоду расширенной базы сглаживания.

У четной базы нет среднего периода. Если расширить её на 1 период – средний период появится. Чтобы «количество» периодов осталось чётным, будем считать крайние периоды за полпериода.

.

При n=2 имеем: . При n=4 - и т.п.

Сглаженный ряд, полученный данным способом, идентичен сглаженному ряду, полученному первым способом и повторно сглаженным по базе = 2.

Данный способ получил наибольшее распространение.