4.4.1. Системы счисления

Прежде, чем говорить об устройстве компьютера, следует рассмотреть вопрос о представлении информации в компьютере. Для этого нужно рассказать о том, что такое двоичная система счисления. Мы привыкли для записи чисел использовать десятичную систему счисления. На самом деле эта система счисления не единственная. Десятичная система счисления относится к классу позиционных систем счисления. В общем случае позиционной системой счисления называется способ представления чисел в виде последовательности цифр, при котором вклад цифры в величину числа зависит от положения цифры в записи числа. Существуют и непозиционные системы счисления, например, римская система счисления.

Сначала разберемся в том, что собой представляет десятичная система счисления. Начнем с целых чисел. Возьмем какое-либо число, записанное в десятичной системе счисления, например, 397. В этом числе 7 единиц, 9 десятков и 3 сотни, т.е. величина числа равна 7*1+9*10+3*100 = 7*100+9*101+3*102. Аналогично устроена позиционная система счисления по произвольному основанию. В общем случае, пусть число X записывается в системе счисления по основанию M в виде ХМ=ANAN-1…A2A1A0 (число цифр в записи равно N+1). Тогда величина этого числа вычисляется по формуле: X = A0*M0 + A1*M1 + A2*M2 +…+ AN-1*MN-1 + AN*MN. Здесь A0, A1, A2, …, AN-1, AN – так называемые M-ричные цифры, которые представляют значения от 0 до M-1 включительно.

Например, записанное в семиричной системе счисления число 236417 = 1+4*71+6*72+3*73+2*74 = 1+28+294+1029+4802 = 615410 . Проще вычислить это значение с использованием так называемой схемы Горнера, которая заключается в расстановке скобок в вышеприведенной сумме: 1+4*71+6*72+3*73+2*74 = 1+7*(4+7*(6+(7*(3+7*2) ) ) = 1+7*(4+7*(6+7*17) ) = 1+7*(4+7*125) = 1+7*879 = 615410 .

Как вычислить цифры M-ричного представления числа? Для этого сначала посмотрим, как вычисляются цифры десятичного представления числа. Пусть X снова равно 397. При делении числа 397 на 10 получаем 39 и 7 в остатке. Остаток 7 выражает количество единиц в числе X. Теперь разделим 39 на 10. Получим частное 3 и 9 в остатке. Остаток 9 теперь представляет число десятков. Наконец, делим 3 на 10 и получаем 0 и 3 в остатке. В результате этой операции получаем количество сотен – 3. Десятичная запись числа состоит из остатков 7, 9 и 3, но записываемых в обратном порядке.

По такой же схеме вычисляются цифры в произвольной M-ричной системе счисления . Возьмем то же число X=39710. Попробуем записать его в пятиричной системе счисления. Для этого разделим его на 5. Получим 79 и 2 в остатке. Запомним первый остаток: A0 = 2. Далее разделим 79 на 5. Получим 15 и 4 в остатке. Запомним второй остаток: A1 = 4. Теперь разделим на 5 число 15. Получим 3 и 0 в остатке. Следовательно, A2 = 0. Последнее деление 3 на 5 дает 0 и 3 в остатке, то есть последняя полученная цифра – это A3 = 3. Равенство частного нулю означает, что процедуру следует завершить. Полученные остатки следует записать в обратном порядке. В результате проделанного вычисления получаем, что 397₁₀ = 3042₅.

Для дробных чисел формула для вычисления величины числа слегка видоизменяется. Пусть число записано в системе счисления по основанию M в виде AnAn-1…A2A1A0 , A-1A-2…A-h . Тогда его величина вычисляется по формуле:

X = A-h*M-h +…+ A-2*M-2+A-1*M-1 + A0*M0 + A1*M1 + A2*M2 +…+ An-1*Mn-1 + An*Mn.

Так, число 1011,0112 представляет собой значение 2-3+2-2+20+21+23 = 11,37510 . Следует отметить, что во многих языках для разделения целых и дробных разрядов числа вместо запятой используется точка.

В современной вычислительной технике наиболее широко используется двоичная система счисления. Вместе с тем иногда встречаются числа, записанные в 16-ричной системе счисления. Шестнадцатиричная система счисления использует16 цифр. В качестве шестнадцатиричных цифр используются 10 десятичных цифр от 0 до 9, а также шесть первых букв латинского алфавита: A (10), B (11), C (12), D (13), E (14) и F (15). В двоичной системе счисления всего две цифры: 0 и 1. В соответствии с общим определением число, записанное в двоичной системе счисления, является суммой степеней двойки, соответствующих тем местам в записи числа, на которых стоят единицы. Например, число 1001011101₂ равно сумме 1+2²+2³+2⁴+2⁶+2⁹ = 1+4+8+16+64+512 = 605₁₀ .

Для хранения числа в памяти компьютера оно переводится в двоичную систему счисления. Каждая двоичная цифра соответствует одному разряду хранения информации в памяти компьютера – одному биту. В современных компьютерах биты хранения информации объединяются в группы по восемь, которые называются байтами. Соответственно при хранении чисел двоичные цифры группируются по восемь. Например, для хранения числа 10011 10011101₂ требуется два байта. В первый байт записываются цифры 00010011, а во второй – цифры 10011101.

Шестнадцатиричная и двоичная системы счисления связаны между собой. Если в двоичной записи числа сгруппировать двоичные цифры по четыре (считая справа налево), а затем заменить каждую четверку двоичных цифр на шестнадцатиричную цифру, то получится шестнадцатиричное представление числа. Например, если в вышеприведенном примере 1001110011101₂ разбить двоичные цифры на четыре группы 1 0011 1001 1101, то 1₂ = 1₁₆ , 0011₂ = 3₁₆ , 1001₂ = 9₁₆ , 1101₂ = D₁₆ , и в результате получается представление числа 1001110011101₂ в шестнадцатиричной системе: 139D₁₆ . Шестнадцатиричная запись иногда используется, если необходимо указать содержимое нескольких байтов памяти компьютера (например, в руководстве или учебном пособии).