2.5.2. Первый и второй законы Кирхгофа

Два закона Кирхгофа, называемые иногда правилами Кирхгофа, — ос

новные законы электрических цепей. Оба закона были установлены на основании многочисленных опытов.

Согласно первому закону Кирхгофа (закону Кирхгофа для токов), алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:

, (2.2)

где со знаком плюс записываются токи с положительными направлениями от узла, а со знаком минус — с положительными направлениями к узлу, или наоборот. Иначе: сумма токов, направленных от узла, равна сумме токов, направленных к узлу. Например, для узла цепи на рис.2.7.

-I₁ – I₂ + I₃ – I₄ + I₅ = или I₃ + I₅ = I₁ + I₂ + I₄

Рис.2.7

Этот закон является следствием того, что в узлах цепи постоянного тока заряды не могут накапливаться. В противном случае изменялись бы потенциалы узлов и токи в ветвях.

Согласно второму закону Кирхгофа (закону Кирхгофа для напряжений), алгебраическая сумма напряжений участков любого контура электрической цепи равна нулю:

, (2.3)

где m — число участков контура.

В (2.3) со знаком плюс записываются напряжения, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, и со знаком минус — противоположно направленные, или наоборот.

В частности, для контура схемы замещения цепи, содержащего только источники ЭДС и резистивные элементы, алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС:

(2.4)

где т — число резистивных элементов; п — число ЭДС в контуре.

В (2.4) со знаком плюс записываются ЭДС и токи, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, и со знаком минус — противоположно направленные, или наоборот. Для контуров, содержащих источники тока, например контура 1, показанного штриховой линией на рис. 2.8, допустима запись второго закона Кирхгофа только в виде (2.3), но не в виде (2.4).

Рис. 2.8.

Второй закон Кирхгофа (2.3) является следствием равенства нулю цир­куляции вектора напряженности электрического поля вдоль любого замкну­того контура длиной l в безвихревом поле . Например, для контура 1 на рис. 2.8 по (2.3)

- U₁ + U₂ - U₃ = О,

для контура 2 по (2.4)

Рис. 2.9

В частном случае в контур может входить только одна ветвь цепи, так

что он замыкается вне ветвей цепи (рис. 2.9). В этом случае, согласно (2.4),

RI- U=E,

откуда

I=(U+E)/R. (2.5)

Уравнение (2.5) выражает обобщенный закон Ома для любой ветви с источником ЭДС (но без источников тока) с суммарными сопротивлением R и ЭДС. Е или отдельного участка этой ветви с параметрами R и Е.

Лекция 3

2.6. Применение закона Ома и законов Кирхгофа для расчетов

электрических цепей

В общем случае схема замещения цепи имеет В ветвей, из которых B_j ветвей содержат источники тока, и У узлов.

Рассмотрим сначала расчет режима в цепи без источников тока, т. е. при B_j = 0. Ее расчет сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить У-1 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа и К = В-У+1 независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми.

Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа на единицу меньше числа узлов, потому что ток каждой ветви входит с разными знаками в уравнения для соединяемых ею узлов. Сумма слагаемых уравнений всех узлов тождественно равна нулю.

Рис. 2.10

В качестве примера рассмотрим расчет цепи, схема замещения которой показана на рис. 2.10 и которая содержит У = 2 узла и В = 3 ветви, т.е.

К=В-У+1=3—2+1=2 независимых контура (1 и 2, или 1 и З, или 2 и 3).

Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей 1₁,1₂, I₃. По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У-1=2-1=1) независимое уравнение, например для узла а.

-1₁ -1₂ + I₃ = 0 (2.6,а)

и по второму закону Кирхгофа — два (К = 2) независимых уравнения, например для контуров 1 и 2

R₁I₁ + R₃I₃ = E₁ + E₃. (2.6,б)

R₂I₂ + R₃I₃ = E₂ + E₃. (2.6,в)

Решение системы трех уравнений (2.6) с тремя неизвестными токами, например методом подстановок, определяет токи ветвей 1₁,1₂, I₃.

Систему алгебраических уравнений сложной цепи, составленных на основе законов Ома и Кирхгофа, целесообразно решать численными методами на ЭВМ. Например, для схемы замещения без источника тока удобно воспользоваться матричной формой

АI = ВE, (2.7)

где А и В — квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС размером В х В, где В — число ветвей; I и Е — матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Элементы матрицы А и В являются коэффициентами в уравнениях (2.7) соответственно при токах и ЭДС. Отсутствие тех или иных токов и ЭДС в каких-либо уравнениях задается значениями «нуль» соответствующих элементов матриц.

Решение системы (2.7):

I = A^-1 BE=GE, (2.8а)

где

(2.8,б)

—обратная матрица;

- и — определитель матрицы А и алгебраические дополнения ее элементов a_ik .

(2.8,в)

—матрица так называемых собственных G_ii и взаимных G_ik проводимостей. Токи ветвей:

I ₁= G₁₁E₁ + G₁₂E₂ + ... + G_1BE_B;

I₂= G₂₁E₁ + G₂₂E₂ + ... + G_2BE_B;

. (2.9)

I_B = G_B1E₁ + G_B2E₂ + ... + G_BBE_B.

Форма записи системы уравнений (2.9) предполагает, что направления

ЭДС и положительные направления токов в ветвях совпадают. Так, система уравнений (2.6) в матричной форме

или

(2.10)

определяет токи ветвей:

I ₁= G₁₁E₁ + G₁₂E₂ + G₁₃E₃;

I₂= G₂₁E₁ + G₂₂E₂ + G₂₃E₃; (2.11)

I₃ = G₃₁E₁ + G₃₂E₂ + G₃₃E₃.

где

G₁₁ = (R₂+R₃)/R²; G₂₂ = (R₁ +R₃)/R²; G₃₃ = (R₁ + R₂)/R²;

G₁₂ = G₂₁ =-R₃/R²; G₁₃ = G₃₁ =R₂/R²; G₂₃ = G₃₂ =R₁/R²;

Математическое обеспечение современных ЭВМ имеет стандартные подпрограммы решения системы алгебраических уравнений в матричной форме.

При расчете схем замещения с источниками тока возможны уп­рощения. Действительно, токи B_j ветвей с источниками тока известны. Поэтому число независимых контуров (без источников тока!), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа, равно

К = В — B_j— У + 1.

С помощью законов Ома и Кирхгофа можно рассчитать режим работы любой электрической цепи. Однако порядок системы уравнений может быть большим. Для упрощения вычислений применяют различные расчетные методы: контурных токов, узловых потенциалов, межузлового напряжения, эквивалентного источника и т.д. Все эти методы основаны на законах Ома и Кирхгофа.