5.2. Управляемость и наблюдаемость линейных колебательных динамических систем

Рассмотрим линейную колебательную динамическую систему с управлением

, (5.22)

где и - квадратные матрицы размерностью , определенные в предыдущем разделе; - вектор управления, - матрица коэффициентов управления, размерностью .

Для определения управляемости и наблюдаемости системы (5.22) необходимо также как для произвольной линейной системы (см. раздел 2.2) перейти к главным или нормальным координатам [12]. Главные координаты линейной системы характеризуются тем, что при переходе к ним все дифференциальные уравнения в системе (5.16) полностью отделяются друг от друга, если рассматривается система (5.22) без управления ( ). В главных координатах система (5.22) принимает вид

, (5.23)

где - диагональная матрица.

Ясно, что все уравнения системы (5.23) легко интегрируются и имеют решение вида

, (5.24)

где ; - произвольные постоянные.

Теперь, если ввести матрицу , составленную из собственных векторов системы, и сравнить решения в обычных (5.21) и в главных (5.24) координатах, нетрудно найти связь между этими координатами

. (5.25)

Определим управляемость линейной колебательной системы, используя тот же метод, что и для произвольной линейной системы (см. раздел 2.2). Подставив замену переменных (5.25) в систему с управлением (5.22) и умножив слева на обратную матрицу , получим

, (5.26)

где , . Причем последнее соотношение может служить проверочным при преобразовании к главным координатам.

В соответствии с критерием Гильберта [6] линейная система (5.26), приведенная к главным координатам, управляема, если ни одна из строк матрицы не является нулевой (то есть для управляемости в каждой строке матрицы должен быть по крайней мере один ненулевой элемент). Если матрица представляет собой матрицу-столбец (это будет тогда, когда управление - скалярная величина), то критерий управляемости требует, чтобы ни одна компонента этого столбца не была нулевой.

Замечание. Система с управлением (5.26) распадается на уравнений вида

, (5.27)

где - -ая строка матрицы . Это уравнение при отличии от нуля хотя бы одной компоненты строки управляема. Для доказательства этого утверждения достаточно привести любое уравнение второго порядка (5.27) к двум уравнениям первого порядка

, ,

где , , и определить управляемость методом, описанным в разделе 2.2 для систем уравнений первого порядка.

Получим критерий наблюдаемости для линейных колебательных динамических систем вида (5.22). Понятие наблюдаемости введено в разделе 2.3. Исходную систему уравнений (5.22) рассмотрим совместно с математической моделью измерительного устройства

, (5.28)

где матрица как и раньше определяет линейную связь между вектором состояния системы и вектором измеряемых переменных .

Для того, чтобы определить наблюдаемость колебательной системы (5.22) необходимо также как и раньше перейти к главным координатам (5.25), тогда

. (5.29)

Таким образом, критерий наблюдаемости для системы (5.22) формулируется следующим образом: система наблюдаема, если ни один из столбцов матрицы не является нулевым.

Замечание. В системах автоматического управления могут производиться измерения не только переменных состояния , но и скоростей . В этом случае математическая модель измерительного устройства (в рамках линейной модели) будет иметь вид и наблюдаемость системы (5.22) определяется аналогично, так как постоянная матрица и главные координаты системы остаются теми же. Если производится измерения скоростей , то для определения вектора необходимо в системах управления установить так называемое интегрирующее звено [18].